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Primo appello di Analisi Matematica 2 14 luglio 2010 1. (Analisi 2 o B) Data la funzione f(x, y) = sin(xy)− cos(xy) (a) Calcolare lo sviluppo di Taylor di f(x, y) al secondo ordine in (0 , 0) (b) Calcolare il piano tangente al grafico di f(x, y) in (0 , 0). (c) Determinare se in un intorno di (0 , 0) il piano tangente ` e sotto o sopra al grafico. 2. (Analisi 2 o C) Si consideri il problema di Cauchy { y′ = (1− xey)(y3− y) y(0) = a nel semipiano t > 0. (a) Si applica il teorema di esistenza e unicit` a in piccolo? In grande? (b) Esistono valori di a tali che la soluzione ammette un asintoto verticale? Orizzontale? (c) Sia a = 2. Il limite per t→ +∞ della soluzione ` e finito o infinito? (d) Tracciare il grafico di alcune soluzioni. 3. (Analisi B) Definire la convergenza uniforme e totale di una serie di funzioni. Dire di quali propriet` a gode una serie di funzioni che converge uniformemente. 4. (Analisi C) Data una matrice quadrata A, definire la matrice esponenziale eA.