14luglio2015

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Analisi Matematica II - 14 luglio 2015 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat in Rn, n≥ 2. Domanda 2 Enunciare il criterio di Weierstrass per la convergenza di una serie di funzioni. Domanda 3 Enunciare il lemma di Gronwall. Analisi Matematica II -14 luglio 2015 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Ricordando che sin t = t− t3 6 + o(t4) e cos t = 1− t2/2 + t4/24 + o(t5), si calcoli lo sviluppo di Taylor in (0 , 0) al quarto ordine di f(x, y) = sin(cos x− y2− 1)− x e si calcoli l’equazione del piano tangente nel punto (0 , 0, 0). Esercizio 2 . Sia A =   1 0 −1 0 1 0 0 0 1   . 1. Si calcoli eAt. 2. Si risolva il sistema y′ = Ay con dato iniziale y(1) = (0, 1, 0). 3. L’origine ` e un punto stabile? Asintoticamente stabile? Instabile? Esercizio 3 . Sia data l’equazione di Newton ¨x = x3 + ax2 . 1. Si trovino i punti di equilibrio al variare del parametro a e se ne discuta la stabilit` a. 2. Per quali valori di a il sistema ammette orbite periodiche? Per quali soluzioni omocline? Per quali orbite illimitate? 3. Per a = 1 si traccino alcune orbite del sistema nel piano delle fasi.