15 01 18

Pagina 1

Politecnico di Milano - Ingegneria Biomedica Analisi Matematica 1 e Geometria 15-1-2018 Esercizio 1. Nello spazio R3, riferito a un sistema cartesiano Oxyz, si considerino le rette r :    x =−t− 1 y =t + 2 z = 3t + 5 t∈ R e s : { 2x−y = 2 x−z = 2 . a. Dimostrare che r e s sono incidenti e calcolare il loro punto di intersezione P ; b. scrivere una equazione del piano Π che contiene r e s. c. scrivere una equazione della retta p ortogonale a r e s e passante per P . Soluzioni a. Per stabilire la mutua posizione tra r e s, sostituiamo le cooridinate parametrizzate di r nelle equazioni che definiscono s. Deduciamo quindi il sistema di due equazioni nell’incognita t { 2(−t− 1)− (t + 2) = 2 −t− 1− (3t + 5) = 2 ⇐⇒ { −3t− 4 = 2 −4t− 6 = 2 ⇐⇒ t =−2. Questo dimostra che le rette sono incidenti, e per calcolarne il punto di intersezione, sostituiamo il valore del parametro t =−2 nelle equazioni parametriche di r. Il punto di intersezione ` e pertanto P = (1, 0,−1). b. Per scrivere tale equazione, deduciamo preliminarmente una equazione parametrica di s s : { 2x−y = 2 x−z = 2 ⇐⇒ { y = 2x− 2 z =x− 2 ⇐⇒    x =s y = 2s− 2 z =s− 2 s∈ R. Nominando u il vettore direttore di r e v il vettore direttore di s, possiamo costruire una direzione ortogonale ad entrambe utilizzando il prodotto vettoriale u∧ v =   −1 1 3  ∧   1 2 1   =   −5 4 −3  . Pertanto, imponendo il passaggio per P , una equazione cartesiana del piano che contiene le due rette ` e 5(x− 1)− 4y + 3(z + 1) = 0. c. Utilizzando l’informazione procurata nel punto b., una equazione parametrica della retta cercata ` e p :    x = 5t + 1 y =−4t z = 3t− 1 t∈ R. Esercizio 2. Si consideri, al variare di α∈ R, l’applicazione lineare Lα : R4→ R3 definita come Lα     x y z w     =   αy +z +w…