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ANALISI MATEMATICA II 15 luglio 2014 Cognome: Nome: Matricola: Proff. Boella, Gazzola, Migliavacca Ingegneria CHI - ELT - MAT E1 E2 T E3 E4 Totale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • Tutte le risposte devono essere motivate, con calcoli e spiegazioni. • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo ed a lato. In caso di necessit` a, se avanza spazio si pu` o proseguire sul retro, altrimenti chiedere un foglio aggiuntivo al/alla docente in aula. I fogli di brutta non devono essere consegnati. • Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 3 punti. Esercizio 1. Sia D ={(x,y )∈ R2; 1 <x 2 +y2< 4, y >|x|}. Disegnare D e calcolare l’integrale ∫ ∫ D |x| y dxdy. Soluzione: L’insieme D ` e rappresentato nella figura accanto. La funzione integranda f(x,y ) = |x| y ` e pari rispetto a x e il dominio D ` e simmetrico rispetto all’asse delle y. Possiamo integrare sul sottoinsieme di D compreso nel semipiano x > 0 e duplicare. Passando in coordinate polari, l’integrale cercato ` e dunque ∫ ∫ D |x| y dxdy = 2 ∫ π/2 π/4 ∫ 2 1 ρρ cosθ ρ sinθ dρdθ = 2 ∫ π/2 π/4 cosθ sinθ dθ ∫ 2 1 ρdρ = 2[log(sin θ)]π/2 π/4 [ρ2 2 ]2 1 = 2 ( log 1− log √ 2 2 ) 4− 1 2 = 3 2 log 2. Esercizio 2. Stabilire se sono convergenti le serie: a) +∞∑ n=39 ( cos 1√ n2− 38 − 1 ) cos √ n2− 38, b) +∞∑ n=1 1 n log(2 +en) , c) +∞∑ n=1 (−1)nea2n n (al variare di a∈ R). Soluzione: a) Notiamo che: ⏐⏐⏐⏐ ( cos 1√ n2− 38 − 1 ) cos √ n2− 38 ⏐⏐⏐⏐≤ ⏐⏐⏐⏐cos 1√ n2− 38 − 1 ⏐⏐⏐⏐· 1 = = 1− cos 1√ n2− 38 ∼ n→+∞ 1 2(n2− 38) ∼ n→+∞ 1 2n2 . Poich´ e +∞∑ n=n0 1 n2 ` e convergente (in quanto serie…