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Politecnico di Milano - Ingegneria Biomedica Analisi Matematica 1 e Geometria 15-9-2016 Esercizio 1. a. Determinare, al variare del parametro reale α, il valore del seguente limite di funzione lim x→0+ 3√x(ex− 1) sin(x3) (sinx)α . b. Stabilire il valore del seguente limite di successione lim n→+∞ (n + 1)n 2nnn . Soluzioni a. Utilizzando i limiti notevoli (oppure gli sviluppi di Mac Laurin), si vede facilmente che lim x→0+ 3√x(ex− 1) sin(x3) (sinx)α = lim x→0+ 3x1/2xex−1 x x3 sin(x3) x3 (sinx)α = lim x→0+ 3x4+1/2 (sinx)α = lim x→0+ 3x4+1/2 xα = = 3 lim x→0+ x9/2−α =    0 se α< 9/2, 3 se α = 9/2, +∞ se α> 9/2. b. Poniamo an = (n + 1)n 2nnn = (n + 1 2n )n . Notando che an> 0, possiamo applicare il criterio della radice. Abbiamo quindi lim n→+∞ a1/n n = lim n→+∞ n + 1 2n = 1 2. Poich` e tale limite ` e minore di 1, il criterio risponde e deduciamo quindi che lim n→+∞ an = 0. Esercizio 2. Studiare la funzione f(x) =xe arctan 1 x . (Riportare in tabella i risultati e il grafico. Riportare concisamente i calcoli sul retro del foglio) Dominio di f: D(f) = R\{ 0} = (−∞, 0)∪ (0, +∞). La discontinuit` a inx = 0 ` e eliminabile (vedi studio del limiti) Segno di f : f(x)> 0 ⇐⇒ x> 0, f (x) = 0 ⇐⇒ x = 0 e f(x)< 0 ⇐⇒ x< 0 Limiti agli estremi del dominio : lim x→±∞ f(x) =±∞ e lim x→0± f(x) = 0± ⇒ la discontinuit` a in 0 ` e eliminabile Asintoti di f: y =x + 1 ` e asintoto obliquo dif per x→±∞ , ∄ asintoti orizzontali o verticali Derivata prima (dominio e formula) : D(f′) = R\{ 0}, f′(x) = x2−x + 1 1 +x2 earctan( 1 x) Eventuali cuspidi e punti angolosi : lim x→0− f′(x) =e−π 2 e lim x→0+ f′(x) =e π 2 ⇒ x = 0 ` e punto angoloso dif Segno di f′ (max/min): f′(x)> 0 ⇒ f ` e monotona crescente ⇒ f non ammette punti estremanti Derivata seconda (dominio e formula) : D(f′′) =D(f′) = R\{ 0},…