15 09 2015

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Esame di Geometria e Algebra Lineare Politecnico di Milano – Ingegneria informatica – Appello 15 Settembre 2015 Cognome: Nome: Matricola: T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Sia f : R3→ R3 l’applicazione lineare definita come f((x y z)T ) = (x +y +z, 2x + 2y,x + 2z)T. 1. Scrivere la matrice che rappresenta l’applicazione rispetto alla base canonica. 2. Verificare se l’applicazione ` e diagonalizzabile. 3. Verificare se l’applicazione ` e un automorfismo ed in tal caso determinare l’applicazione inversa. 2. Consideriamo i seguenti tre vettori in R4 dipendenti dal parametro k: v1 =   1 k k 1  , v2 =   k 1 1 k  , v3 =   1 k 1 k  . 1. Calcolare la dimensione del sottospazio vettoriale Vk⊂ R4 generato dai tre vettori. 2. Calcolare la proiezione ortogonale del vettore w = (1 2 3 4)T suV0, rispetto al prodotto scalare standard di R4. 3. Fissato un sistema di riferimento ortonormale BO nel piano, consideriamo il fascio di coniche Ck dipendente dal parametro k∈ R e definito da: kx2 + 2(1−k)xy +ky2− 2kx + 2(k− 1)y = 0. 1. Classificare Ck al variare di k. 2. Trovare le equazioni cartesiane delle rette componenti le coniche degeneri del fascio. 3. Trovare i punti base del fascio. Soluzioni 1. (a) La matrice che rappresenta l’applicazione rispetto alla base canonica S di R3 ` e A = ( f(e1)|S f(e2)|S f(e3)|S ) =   1 1 1 2 2 0 1 0 2  . (b) Il polinomio caratteristico di f ` e Pf(λ) = det   1−λ 1 1 2 2 −λ 0 1 0 2 −λ   = (2−λ)(λ2− 3λ− 1) e quindi gli autovalori sono λ1 = 2, λ 2,3 = 3± √ 13 2 . Avendo tre autovalori reali distinti, l’applicazione f ` e diagonalizzabile inR3. (c) Essendo i tre autovalori di f diversi da…