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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 3/2/2015. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Si considerino le estrazioni da un’urna con B = 2 palline bianche e R = 3 palline rosse. Sia Xk la variabile Bernoulliana che indica se la k-esima estrazione d` a una pallina rossa, e sia Z il ”numero di estrazioni necessarie per ottenere la prima pallina rossa”. Consideriamo il caso di estrazioni senza reimmissione, per cui 1 ≤ k ≤ 5. 1. Le variabili Xk sono indipendenti? 2. Determinare la distribuzione di Z. 3. Calcolare il valore atteso di Z. Si consideri ora il caso di B ed R arbitrari numeri naturali. 4. Determinare la densit` a discreta di Z. 1 Soluzione. 1. Le variabili Xk non sono indipendenti: P(X1 = 1, X2 = 1) = P(X2 = 1|X1 = 1) P(X1 = 1) = R − 1 R + B − 1 R R + B = 3 10 ̸= P(X1 = 1) P(X2 = 1) = ( R R + B ) 2 = 9 25 . 2. Z pu` o assumere solo i valori 1 , 2, 3. Pertanto ` e una variabile aleatoria discreta. La sua distribuzione ` e data dalla densit` a discreta fZ(1) = P(Z = 1) = P(X1 = 1) = R R + B = 3 5 fZ(2) = P(Z = 2) = P(X1 = 0, X2 = 1) = P(X2 = 1|X1 = 0) P(X1 = 0) = R R + B − 1 B R + B = 2 5 3 4 = 3 10 fZ(3) = P(Z = 3) = P(X1 = 0, X2 = 0, X3 = 1) = P(X3 = 1|X2 = 0, X1 = 0) P(X2 = 0|X1 = 0) P(X1 = 0) = R R + B − 2 B − 1 R + B − 1 B R + B = 2 5 1 4 3 3 = 1 10 3. E[Z] = 3∑ k=1 k fZ(k) = 1 · 6 10 + 2 · 3 10 + 3 · 1 10 = 15 10 = 1.5. 4. Z pu` o assumere solo i valori interi 1 , . . . , B + 1. Pertanto ` e una variabile aleatoria discreta. La sua densit` a discreta ` e data da fZ(k) = P(Z = k) = R R + B − k + 1 B − k + 2 R + B − k + 2 · · · B − 1 R + B − 1 B R + B . 2 2. Data una variabile aleatoria X ∼ N (µ, σ2), µ ∈ R, σ ≥ 0, si…