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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 18/2/2015. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Sia X una variabile esponenziale di parametro λ > 0 e sia Y = e−aX , dove a > 0  e un altro parametro. Rispondere alle seguenti domande esprimendo le risposte in funzione di λ e a. 1. Trovare la funzione di ripartizione di Y . 2. Determinare se Y ammette densit a continua e in tal caso calcolarla. 3. Determinare per quali valori di p > 0 risulta Y ∈ Lp. Siano ora X1, X2, . . . una successione indipendente di variabili aventi tutte la stessa legge di X e siano Yi de nite da Yi = e−aXi, i ≥ 1, dove λ, a sono gli stessi di prima. 4. Si esprimano le variabili Zn := n√Y1Y2 · · · Yn. per mezzo della media campionaria delle variabili Xi. Si calcoli poi il limite quasi certo della successione Zn. 5. Determinare la distribuzione asintotica della successione Zn. Soluzione. 1. Risulta 0 < Y < 1 quasi certamente, perci o la funzione di ripartizione varr aF (y) = 0 per y ≤ 0 e F (y) = 1 per y ≥ 1. Per 0 < y < 1 risulta F (y) = P (Y ≤ y) = P (e−aX ≤ y) = P (X ≥ − 1 a log y) = e  a log y = y=a. 2. F  e continua eC1 a tratti: pertanto ammette densit a continua data da f (y) = F ′(y) = λ a y  a −1 1(0;1)(y). 3. Risulta E(|Y |p) = ∫ 1 0 yp  a y  a −1dy = =a p+=a < ∞ e quindi Y ∈ Lp per ogni p > 0. 4. Zn = ( e−aX1 · . . . · e−aXn)1=n = e−aX n → e−a= quasi certamente, per la legge dei grandi numeri. 5. Per il teorema limite centrale, √n(X n − 1/λ) → Z ∼ N (0, 1/λ2) in legge. Per il metodo delta, applicato alla funzione ϕ(x) = e−ax, risulta √n(e−aX n − e−a=) → −ae−a=Z ∼ N (0, a2 λ2 e−2a=) in legge, ovvero Zn ∼ AN (e−a=, a2 n2 e−2a=). 1 2. Siano X, Y…