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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 4/5/2015. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Un'urna viene inizialmente riempita con n palline, di cui X rosse e n X bianche, con X numero casuale uniformemente distribuito fra 0 ed n. A questo punto si aggiunge una pallina all'urna, sicuramente rossa, si mescola l'urna e, senza trucco e senza inganno, a caso se ne estrae una pallina. Determinare: (a) la probabilit a che l'urna sia inizialmente composta da X = k palline rosse; (b) la probabilit a di estrarre una pallina rossa, sapendo che X = k; (c) la probabilit a di estrarre una pallina rossa; (d) la probabilit a che l'urna sia inizialmente composta da X = k palline rosse, sapendo che  e stata estratta una pallina rossa. Soluzione. Sia R l'evento \estrazione di una pallina rossa". (a) P(X = k) = 1 n + 1 per ogni k = 0; : : : ; n. (b) P(RjX = k) = k + 1 n + 1 . (c) P(R) = n∑ k=0 P(RjX = k) P(X = k) = n∑ k=0 k + 1 n + 1 1 n + 1 = n + 2 2(n + 1) . (d) P(X = kjR) = P(RjX = k) P(X = k) P(R) = 2(k + 1) (n + 1)(n + 2) per ogni k = 0; : : : ; n. 1 2. Decidete di giocare alla roulette (37 caselle, numerate da 0 a 36) con puntate semplici, sempre sul 15, no a quando nalmente uscir a. Sia X il numero di giocate che vi aspettano. (a) Qual  e la legge di X? Quale il suo valore atteso? In caso di vincita il banco paga 35 volte la posta giocata: se avete puntato 1 soldo sul 15 ed esce il 15, ricevete indietro 1 + 35 = 36 soldi. Immaginando di avere a disposizione un capitale in nito, decidete di puntare ogni volta 1 soldo (sempre sul 15, no a quando nalmente uscir a). Sia Y il vostro guadagno nale. (b) Scrivere Y in funzione di X. (c) Qual  e la…