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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 17/7/2015. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Date T1 e T2 indipendenti ed esponenziali di parametro λ, si consideri la trasformazione: S1 = T1, S2 = T1 + T2. (a) Si mostri che ( S1, S2)  e un vettore aleatorio continuo, se ne calcoli la densit af(S1;S2) e, in particolare, se ne disegni il supporto R. (b) Si calcoli la funzione caratteristica φ(S1;S2). (c) Le variabili S1 ed S2 sono indipendenti? Perch e? (d) Si calcoli e si riconosca la distribuzione di S1 condizionata da S2 = x, dove x > 0. (e) Si trovino l'attesa condizionata E[S1|S2] e la varianza condizionata Var( S1|S2). Soluzione. (a) ( S1 S2 ) = ( 1 0 1 1 ) ( T1 T2 )  e un vettore aleatorio continuo perch eA = ( 1 0 1 1 )  e invertibile e (T1, T2)  e un vettore aleatorio continuo (essendo le Tk variabili continue indipendenti). Poich e detA = 1 e A 1 = ( 1 0 −1 1 ) , abbiamo f(S1;S2)(y1, y2) = f(T1;T2)(y1, y2 − y1) = λ2 e  y2 IR(y1, y2) dove R = { (y1, y2) : 0 < y 1 < y 2 } . (b) φ(S1;S2)(u1, u2) = φ(T1;T2)(AT u) = λ λ − i(u1 + u2) λ λ − i u2 = λ2 λ2 − 2iλu2 − iλu1 − u2(u1 + u2) . (c) Le variabili S1 ed S2 non sono indipendenti: non si fattorizzano f(S1;S2), R, φ(S1;S2). 1 (d) S1|S2 = x ha distribuzione continua di densit a fS1jS2(s|x) = λ2 e x IR(s, x) λ2 e x x = 1 x I(0;x)(s), per cui S1|S2 = x ∼ U ((0, x)). (e) Poich e E[S1|S2 = x] = x 2 , Var(S1|S2 = x) = x2 12 , abbiamo E[S1|S2] = S2 2 , Var(S1|S2) = S2 2 12 . 2 2. Si consideri una variabile aleatoria reale X, dipendente da un parametro λ > 0, avente densit a continua f (x) = c x 1[0;](x). (a) Si trovi il valore della costante c in funzione di λ. (b) Si calcoli la…