15settembre15

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Analisi Matematica II - 15 settembre 2015 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Sia f : Rn→ Rn, f(0) = 0. Si consideri il sistema y′ = f(y) e si definisca la stabilit` a secondo Liapunov dell’origine. Domanda 2 Enunciare il teorema della divergenza. Domanda 3 Elencare le propriet` a di una matrice di transizione. Analisi Matematica II - 15 settembre 2015 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Determinare i punti di massimo e minimo per la funzione f(x, y) = ex4+y3−4x2−3y2 . Esercizio 2 . Sia A =   0 −3 0 0 0 0 1 6 0   . 1. Si calcoli eAt. 2. Si risolva il sistema y′ = Ay con dato iniziale y(1) = (1, 1, 1). 3. L’origine ` e un punto stabile? Asintoticamente stabile? Instabile? Esercizio 3 . Risolvere il problema di Cauchy { y′ = (x− y)2 y(0) = 0 .