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ANALISI MATEMATICA 1 Area dell’Ingegneria dell’Informazione Appello del 16.02.2018 TEMA 1 Esercizio 1 Si consideri la funzione f(x) = { ex− 1 |x−2| per x̸= 2 0 per x = 2. i) Determinare il dominio D dif, le sue eventuali simmetrie e studiarne il segno; determinare i limiti di f agli estremi di D e gli eventuali asintoti; ii) si dica se f ` e continua in tuttoR. iii) calcolare la derivata e studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto; calcolare i limiti significativi di f′; in particolare si dica se f ` e derivabile in tuttoR; NON ` e richiesta la derivata seconda; iv) disegnare un grafico qualitativo di f. Svolgimento. i)DOMINIO: |x− 2|̸ = 0 ⇐⇒ x̸= 2, dunque D = R\{2}∪{ 2} = R LIMITI: lim x→2 f(x) =e2·e−∞ =e2· 0 = 0 lim x→+∞ f(x) =e+∞ = +∞ lim x→−∞ f(x) =e−∞ = 0 ASINTOTI lim x→+∞ f(x)/x = lim x→+∞ ex x = +∞ dunque non ci sono asintoti obliqui. ii) CONTINUIT `A: La funzione ` e continua in R\{2}2 perch` e composizione di continue. `E continua anche per x = 2 poich` e limx→2 = 0 =f(2). Dunque f ` e continua. iii) se x> 2 si ha f′(x) = ( ex− 1 x−2 )( 1 + 1 (x− 2)2 ) ; se x< 2 si ha f′(x) = ( ex+ 1 x−2 )( 1− 1 (x− 2)2 ) . Dunque f′(x)≥ 0 se    x> 2 1 + 1 (x−2)2≥ 0 ⋃    x< 2 1− 1 (x−2)2≥ 0 cio` e se x∈]2, +∞[ ⋃ ( ]−∞, 2[ ⋂ {x : ( x− 2)2≥ 1} ) =]2, +∞[ ⋃ ( ]−∞, 2[ ⋂ {x : ( x− 2)≤− 1 oppure ( x− 2)≥ 1} ) cio` e se x∈]2, +∞[ ⋃ ]−∞, 1]. Inoltre, poich` e lim x→2− f′(x) = lim x→2− ( ex+ 1 x−2 )( 1− 1 (x− 2)2 ) =−e2 lim x→2− e 1 x−2 (x− 2)2 = 0, lim x→2+ f′(x) = lim x→2+ ( ex− 1 x−2 )( 1 + 1 (x− 2)2 ) =−e2 lim x→2+ e− 1 x−2 (x− 2)2 = 0 si ha che f ` e derivabile inx = 2 e f′(2) = 0. Concludendo, f ` e derivabile su tutto il dominioD = R, anzi ` e di classeC1. Dallo studio della monotonia f ha un massimo relativo in x = 1 e un…