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Politecnico di Milano Analisi Matematica I e Geometria – 16 luglio 2019 Ing. Gestionale Prova d’esame – 1a parte (TEORIA) Cognome (in stampatello LEGGIBILE!): Nome (in stampatello LEGGIBILE!): • I fogli di brutta NON vanno consegnati: verranno ritirati solo questi fogli. • Non scrivere gli svolgimenti relativi alla parte teorica sui fogli relativi agli esercizi. 1. [punti 2] Enunciare e dimostrare il teorema che fornisce una condizione sufficiente alla stretta monotonia di una funzione su un intervallo [a; b]. . . . 2. [punti 2] Enunciare il teorema relativo alla formula di Taylor con resto di Peano (ordine n). Scrivere la formula di Taylor–Peano al 2 ◦ ordine con centro x0 = 1 di f (x) =ex−1 e usarla per determinare una stima asintotica di g(x) :=f (x) − x per x → 1 . . . . Per x → 1 abbiamo: f (x) = 1 + ( x − 1) + (x − 1)2 2 + o(x − 1)2 ; g(x) = 1 + ( x − 1) + (x − 1)2 2 + o(x − 1)2 − x = (x − 1)2 2 + o(x − 1)2 ∼ (x − 1)2 2 : 3. [punti 2] Calcolare la derivata della funzione f (x) = ∫ x −1 earctan t dt , dopo aver enunciato formal- mente il teorema che occorre utilizzare. Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa −1. Occorre utilizzare il teorema di Torricelli (. . . ). Si ottiene subito f ′(x) = earctan x , da cui f ′(−1) = earctan(−1) = e−=4 . Osservato che f (−1) = 0 , l’equazione della retta tangente richiesta risulta: y = e−=4(x + 1) : Politecnico di Milano Analisi Matematica I e Geometria – 16 luglio 2019 Ing. Gestionale Prova d’esame – ESERCIZI 1) [punti 4] Nello spazio sono date le rette r e s: r : { x + 2y = 1 y − z = 1 ; s :    x = 1 + t y = 3 z = 2t (t ∈ R) : a) Stabilire la reciproca posizione delle rette. b) Individuare il piano contenente r e parallelo a s. c) Calcolare la distanza tra r ed s. a) Esprimiamo la…