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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 2/5/2016. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Il fatturato X di un’azienda, espresso in un’opportuna unit` a di misura, ` e una variabile aleatoria reale continua con densit` a f (x) = 1 8 x 1(0;a)(x); dove a > 0 ` e un parametro. Il fatturato viene classificato in tre livelli (alto, medio, basso) a seconda che risulti X > 3, 2 < X ≤ 3, X ≤ 2, rispettivamente. (a) Trovare il valore di a in modo che f sia effettivamente una densit` a di probabilit` a. (b) Trovare le probabilit` a che il fatturato sia classificato alto, medio, basso. La direzione dell’impresa potrebbe decidere di attivare un audit amministrativo. La proba- bilit` a che l’ audit venga attivato ` e pari a 1 =2, 1 =3, 1 =6 nei tre casi (fatturato alto, medio, basso). (c) Calcolare la probabilit` a che l’ audit venga attivato. (d) I dati contabili di un certo anno sono andati perduti. Sapendo che in quell’anno l’ audit NON ` e stato attivato, si calcoli la probabilit` a che il livello di fatturato sia stato quello medio. Soluzione. Definiamo gli eventi L1; L2; L3 = “livello basso, medio, alto” rispettivamente; A = “audit attivato”. (a) 1 = 1 8 ∫ a 0 x dx =⇒ a = 4. (b) P (L1) = P (X ≤ 2) = 1 8 ∫ 2 0 x dx = 1 4 , P (L2) = P (2 < X ≤ 3) = 1 8 ∫ 3 2 x dx = 5 16 , P (L3) = P (X > 3) = 1 8 ∫ 4 3 x dx = 7 16 . (c) Poich´ eP (A|Li) = 1 =6; 1=3; 1=2, per i = 1; 2; 3, si trova P (A) = ∑3 i=1 P (A|Li) P (Li) = 35 =96 ≃ 0:3646. (d) P (L2|Ac) = P (Ac|L2) P (L2) P (Ac) = (1 − P (A|L2)) P (L2) 1 − P (A) = 20 61 ≃ 0:3279. 1 2. Un’urna contiene r palline rosse e b palline bianche ( r ≥ 1; b ≥ 1). Una pallina ` e estratta a caso dall’urna. Dopodich´ e, si…