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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 5/7/2016. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Per ogni intero n ≥ 1 siano date variabili aleatorie reali Xn con legge N (0; n) (de nite sullo stesso spazio di probabilit a). Siano poi Yn = exp ( Xn − n 2 ) : (a) Calcolare valore atteso e varianza di Yn. [Suggerimento: usare la formula ∫ +∞ −∞ exe−x2=2dx = e 2=2√ 2; valida per ogni  ∈ R.] (b) Calcolare la funzione di ripartizione di Yn, esprimendola per mezzo della funzione di ripartizione  della legge N (0; 1). (c) Stabilire se le variabili Yn sono assolutamente continue e in tal caso calcolarne la densit a continua. (d) Studiare la convergenza in legge della successione Yn. (e) Studiare la convergenza della successione Yn in L1 e in L2. (f) Trovare per quali valori di ∈ R esiste il limite in legge della successione e nYn e calcolarlo. 1 Soluzione. (a) Poich e E[eXn] = ∫ R ex e−x2=2n √ 2n dx = e n=2; E[e2Xn] = ∫ R e2x e−x2=2n √ 2n dx = e 2n; grazie al suggerimento e al cambio di variabile y = x=√n. Quindi si ottiene E[Yn] = 1 e Var(Yn) = E[Y 2 n ] − E[Yn]2 = E[e2Xn]e−n − 1 = e n − 1: (b) Fn(y) = P (Yn ≤ y) = 0 per y ≤ 0, mentre per y > 0, Fn(y) = P ( Xn − n 2 ≤ log y ) = P ( Xn√n ≤ √n 2 + log y√n ) =  ( √n 2 + log y√n ) : (c) Poich eFn  e continua, ed  e di classeC1 a tratti, la densit a continua esiste e si trova derivando: F ′ n(y) = 1 y√n ′ ( √n 2 + log y√n ) 1(0;∞)(y) = 1 y √ 2n e− 1 2 ( pn 2 + log ypn )2 1(0;∞)(y): (d) Per y > 0 si ha Fn(y) → (+∞) = 1, da cui Yn → 0 in legge. (e) La convergenza in L1 implica quella in legge; perci o in caso di convergenza in L1 il limite sarebbe 0 e si avrebbe E[|Yn|] = E[Yn] → 0. Si ha…