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Analisi Matematica II - 16 Luglio 2013 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Sia X un qualunque insieme e sia d : X× X→ [0, +∞). Scrivere quali propriet` a deve soddisfare d per essere una distanza (o metrica). Cosa significa che ( X, d) ` e completo? Domanda 2 Enunciare il teorema della funzione inversa in Rn. Domanda 3 Sia y′ = A(t)y un sistema di N equazioni differenziali lineari. (a) Definire una matrice wronskiana per il sistema. (b) Enunciare il teorema di Liouville. Analisi Matematica II - 16 Luglio 2012 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Sia T⊂ R2 il triangolo di vertici (0 , 0), (1, 2) e (2 , 1). Calcolare ∫ T x2y dx dy direttamente e usando la formula di Gauss-Green. Esercizio 2 . Si consideri la serie di potenze f(x) = +∞∑ n=1 2n n xn . 1. Calcolare il raggio di convergenza R. 2. Determinare la convergenza della serie in |x| = R. Esercizio 3 . Sia V (x) = a x2 2 + x4 4 e si consideri l’equazione x′′(t) =−V ′(x(t)). 1. Si determini per quali valori di a∈ R l’equazione ammette soluzioni omocline a 0. 2. Sia a =−1. Si determinino i punti di equilibrio dell’equazione e la loro stabilit` a.