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17 Luglio 2001 – recupero seconda prova Esercizio 1 1.a 1 ) Diagrammi di Bode del modulo e della fase di (Gj ω , ove 10 1 500() ( ) 11 50 10 s Gs L sss ⎛⎞−− ⎜⎟⎝⎠== ⎛⎞ ⎛ ⎞++⎜⎟ ⎜ ⎟⎝⎠ ⎝ ⎠ : 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 dB li Diagramma di Bode - Modulo 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 -100 -50 0 50 100 150 200 gradi li Diagramma di Bode - Fase 1.b Dal diagramma di Bode del modulo di () ( )L sG s= , si legge che 75 /c rad sω  . 1.c Ricorriamo al criterio di Bode: 75 75 75180 arctan arctan arctan 180 36.9 82.4 56.3 4.4100 10 50 180 180 4.4 0 c mc ϕ ϕϕ −= ° + − − = ° − °− °− ° = ° =° − = ° − ° > Però non serve calcolare mϕ , perché 10 0µ =− < , quindi dal criterio di B ode si deduce subito che il sistema è instabile. Esercizio 2 2.a F.d.t. 80() ( 2)( 10)( 20) sGs ss s= ++ + : uno zero in 0, tre poli in -2, -10 e -20 rispettivamente, costante di trasferimento 80: Pole-Zero Map Real Axis Imag Axis -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 α β γ Osservazioni: - (0 ) 0Gj = , (il d iagramma polare è infatti qu ello v erde, ed è percorso in senso orario); ( 0 ) 0 90000 90Gj + = ° + ° −° −° −° = °( - () 0Gj ∞= ( ) 0 909 09 09 0 180Gj ∞ = °+ °− °− ° − ° = − °(, ; - al crescere di 0ω > , ( )Gj ω prima cresce, per via dello zero nell ’origine, poi decresce per via dei poli non nell’origine; - () 0 90 90 ( )Gj ω αβ γ α β γ=° + ° − − − = ° − + +( , ove α β γ+ + è s empre crescente al c rescere d i 0ω > ; pertanto, ( )Gj ω( è decrescente con ω ; - diagramma di Nyquist=verde+blu; anch’esso è percorso in senso orario, in questo caso. 2.b Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Si ha un sistem a con retrozione negativa unitari a e con funzione d’anello che è la…