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Analisi Mat. 2 e Compl. di Alg. Lineare – IEC – prof. Citrini 3° appello – 17 luglio 2018 Prova3Edi_An2_2018_sol.docx 1/7 17/07/2018 COGNOME …………………… Nome ……………… Matr. ………… Firma …………………… Dichiaro di aver preso visione delle regole di esame e in particolare dei punti l-m-n-o. Firma …………………… Esercizio 1 a b c d 2e 3f 4g h 5i j k l Totale Punteggio 4 3 3 2 5 4 5 3 1 1 1 1 33 Voto Tempo a disposizione: 2 h 30’. Consegnare solo questi fogli. Per ogni esercizio, indicare la risposta nell’appos ito spazio e giustificarla per sommi capi. Scrivere eventualmente qualche passaggio sul retro. Non è ammesso l’uso di libri, appunti e dispositivi elettronici. 1. Data la matrice A = A( k) =
2 −4  4 −6 8−6 −2 2+1 2−3 a) studiarne il rango e determinarne il nucleo al variare del parametro reale k. Si ha det A(k) = 0 per ogni k.. Pertanto il rango di A non è mai 3. Siccome esistono degli elementi non nulli indipendenti da k, il rango è almeno 1, e bisogna stabilire per quali valori di k esso è 1 e per quali 2. Esaminiamo il minore 2 −4 4 −6 = −12−4 +16 = −4( −4+3) : esso si annulla per k = 1 e per k = 3, quindi per valori di k differenti da questi il rango di A è 2. Risulta poi A(1) =
2 −3 1 4 −6 2 −2 3 −1 , che ha rango 1 (sia le righe che le colonne sono tra loro proporzionali). Il nucleo è generato, per esempio, dai due vettori [3, 2, 0]T e [0, 1, 3]T (ma si possono scegliere altri vettori, combinazione di questi, purché linearmente indipendenti, come [1, 0, –2]T e [1, 1, 1]T). Invece A(3) =
2 −1 3 12 −6 18 −2 7 3 ha rango 2 (la seconda riga è 6 volte la prima, ma la terza è indipendente). Pertanto l’unico valore di k per cui rk(A) = 1 è k = 1. • Determiniamo ora il nucleo di A per k ≠ 1. Si tratta di risolvere il sistema omogeneo  2+ (−4 )+ = 0 4−6+ (8−6…