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ANALISI MATEMATICA 1 Area dell’Ingegneria dell’Informazione Appello del 17.09.2018 TEMA 1 Esercizio 1 Si consideri la funzione f(x) := { e− 2 |x| ( 2|x|− 3 ) per x̸= 0 0 per x = 0. i) Determinare il dominio D, le eventuali simmetrie e studiare il segno di f; ii) determinare i limiti di f agli estremi di D e gli eventuali asintoti; iii) calcolare la derivata e studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto; non ` e richiesta la derivata seconda; iv) studiare la continuit` a e (facoltativo) la derivabilit` a dif (in particolare in x = 0); v) disegnare un grafico qualitativo di f. Svolgimento. i) D = R, ovviamente e la funzione ` e pari. Si ha f(x)≥ 0 se e solo se |x|≥ 3 2 oppure x = 0. D’ora in poi studiamo f per x≥ 0. ii) Si ha lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ e− 2 x ( 2x− 3 ) = +∞. Per il calcolo dell’asintoto si ha lim x→+∞ f(x) x = lim x→+∞ e− 2 x 2x− 3 x = 2 e lim x→+∞ f(x)− 2x = lim x→+∞ ( 2x ( e− 2 x− 1 ) − 3e− 2 x ) = lim x→+∞ ( 2x ( − 2 x +o (1 x )) − 3e− 2 x ) =−7, per cui la retta y = 2x− 7 ` e asintoto obliquo perx→ +∞. iii) Per x> 0 si possono applicare le regole di derivazione, dato che si ha f(x) =e− 2 x (2x− 3). Perci` o f′(x) = 2e− 2 x + 2e− 2 x x2 (2x− 3) = 2e− 2 x x2 (x2 + 2x− 3). Si ha pertanto che f′(x)≥ 0 se e solo se x2 + 2x− 3≥ 0, cio` e (perx >0) se e solo se x≥ 1. Pertanto x = 1 ` e il punto di minimo assoluto, ed ` e un minimo stretto, mentrex = 0 ` e un punto di massimo relativo stretto, in quanto f(x)< 0 =f(0) per 0 <|x|< 3 2 (mostrato in (i)). iv) La funzione ` e continua in ]0 , +∞[ in quanto composizione di funzioni elementari. Per studiare la continuit` a in 0 bisogna calcolare lim x→0+ f(x) = lim x→0+ e− 2 x (2x− 3) =−3 lim x→0+ e− 2 x = 0 =f(0). Pertantof ` e continua anche inx = 0. Per studiare la…