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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 10/2/2017. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Siano X e Y variabili aleatorie reali indipendenti. Y ha legge B(p) con p 2 (0; 1), cio e P (Y = 1) = p, P (Y = 0) = 1 p. X ha densit a continua data da f (x) = (2 2x) 1(0;1)(x): De niamo la variabile Z come segue: Z = { X; se Y = 1; X; se Y = 0: (a) Calcolare la media di X e la sua funzione di ripartizione, disegnandone un gra co. (b) Calcolare la media condizionata E(Z j Y = i) per i = 1 e per i = 0. (c) Calcolare la media di Z. (d) Calcolare la funzione di ripartizione condizionata P (Z  z j Y = i) per i = 1 e per i = 0 ( z 2 R). (e) Calcolare la funzione di ripartizione di Z. Soluzione. (a) FX (x) = P (X  x) = 0 se x  0, FX (x) = 2 x x2 se 0 < x < 1, FX (x) = 1 se x  1. E(X) = ∫ 1 0 x(2 2x) dx = 1=3. (b) E(Z j Y = 1) = E(X j Y = 1) = E(X) = 1 =3, E(Z j Y = 0) = E( X j Y = 1) = E( X) = 1=3. (c) E(Z) = E(Z j Y = 1) P (Y = 1) + E(Z j Y = 0) P (Y = 0) = (1 =3)p (1=3)(1 p) = (1=3)(2p 1). (d) P (Z  z j Y = 1) = P (X  z j Y = 1) = P (X  z) = FX (z). P (Z  z j Y = 0) = P ( X  z j Y = 0) = P ( X  z) = P (X  z) = 1 FX ( z) cio e P (Z  z j Y = 0) = 0 per z  1, P (Z  z j Y = 0) = 1 [ 2z z2] = 1 + 2 z + z2 per 1 < z < 0, P (Z  z j Y = 0) = 1 per z  0, (e) FZ(z) = P (Z  z) = P (Z  z j Y = 1)P (Y = 1) + P (Z  z j Y = 0)P (Y = 0) = pFX (z) + (1 p)(1 FX ( z)); cio e FZ(z) = 0 per z  1, FZ(z) = (1 p)(1 + 2z + z2) per 1 < z < 0, FZ(z) = p(2z z2) + (1 p) per 0  z < 1, FZ(z) = 1 per z  1. 1 2. Sia X una variabile aleatoria con distribuzione uniforme su [0 ; a], dove a > 1  e un parametro. Sia poi Y = X 1=a: (a) Si calcolino funzione di…