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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione I Prov a in Itinere di Probabilità per Ingegneria Matematica 27 aprile 2017 c⃝I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Problema 1. Consideriamo estrazioni indipendenti di 1 pallina da un'urna, nel caso in cui il numero totale di palline nell'urna aumenti ad ogni estrazione. Più esattamente, per l'estrazione n-esima l'urna viene riempita con n2 palline, numerate da 1 a n2. Si calcoli la probabilità di: 1. estrarre la pallina numero 2 alla n-esima estrazione, n≥ 1; 2. estrarre sempre la pallina numero 2 dalla seconda alla n-esima estrazione; 3. aver estratto la pallina numero 2 alla seconda estrazione, sapendo che è stata estratta almeno una volta nelle prime 3 estrazioni; 4. aver estratto la pallina numero 2 alla seconda estrazione, sapendo che è stata estratta esattamente una volta nelle prime 3 estrazioni; 5. estrarre la pallina numero 2 in nite volte. Suggerimento: si consideri inizialmente l'evento estrarre la pallina 2 almeno una volta dalla estrazione n-esima in poi e se ne maggiori la probabilità sfruttando la subadditività. 1 Risultati. Per ogni n∈ N, indichiamo con En l'evento alla n-esima estrazione viene estratta la pallina numero 2. 1. P(E1) = 0 e P(En) = 1 n2 , per ogni n≥ 2. 2. P ( E2,...,E n ) = 1 (n!)2 . 3. P ( E2 ⏐⏐⏐ 3⋃ n=1 En ) = P ( E2, 3⋃ n=1 En ) P ( 3⋃ n=1 En ) = P(E2) P(E2) + P(E3)− P(E2,E 3) = 1 4 1 4 + 1 9− 1 36 = 36 48 = 0.75 4. P ( E2 ⏐⏐⏐(E2∩Ec 3)∪ (Ec 2∩E3) ) = P ( E2,E c 3 ) P ( (E2∩Ec 3)∪ (Ec 2∩E3) ) = P(E2)P(Ec 3) P(E2)P(Ec 3) + P(Ec 2)P(E3) = 1 4 8 9 1 4 8 9 + 3 4 1 9 = 8 11 = 0.7273. 5. Grazie alla subadditività della probabilità abbiamo P ( +∞⋃ k=n Ek ) ≤ +∞∑ k=n P(Ek) = +∞∑…