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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione II Prov a in Itinere di Probabilità per Ingegneria Matematica 6 luglio 2017 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Problema 1. Data Xn, n∈ N, successione di variabili aleatorie i.i.d. bernoullianeB(p) con probabilità di successo 0<p< 1, e la corrispondente successione di variabili aleatorie Yn = n∑ k=1 Xk∼B(n,p ), n ∈ N, si considerino gli eventi • An = “il secondo successo si verifica alla provan”,n∈ N, • A∞ = “il secondo successo non si verifica mai”. Determinare: 1. l’eventoAn in funzione delle variabiliXk e Yk, per ognin∈ N, 2. l’eventoA∞ in funzione delle variabiliXk e Yk, 3. la probabilità P(An), per ognin∈ N, 4. la probabilità P(A∞). Si consideri ora la provaT del secondo successo, ovvero il numeroT di prove necessarie per ottenere il secondo successo, ovvero, indicato conΩ lo spazio campionario, la variabile aleatoria T (ω) := min { n≥ 2: Yn(ω) = 2 } , ∀ω∈ Ω. Determinare: 5. la legge diT, 6. il valore atteso diT. Si sappia che, per ognin0∈ N ed ogni 0<p< 1, vale ∞∑ k=n0 (k− 1 n0− 1 ) pn0 (1−p)k−n0 = 1 . (1) 1 Risultati. 1. • n = 1 = ⇒ A1 =∅, • n≥ 2 = ⇒ An = ( Yn−1 = 1,Yn = 2 ) = ( Yn−1 = 1,Xn = 1 ) . 2. A∞ = ∞⋂ n=1 ( Yn≤ 1 ) . 3. • n = 1 = ⇒ P(A1) = 0, • n≥ 2 = ⇒ P(An) = P ( Yn−1 = 1 ) P ( Xn = 1 ) = (n−1)p2 (1−p)n−2 essendoXn |=Yn−1. 4. Essnedo gli eventi ( Yn≤ 1 ) inscatolati, otteniamo P(A∞) = P ( ∞⋂ k=1 ( Yn≤ 1 )) = lim n→∞ P ( Yn≤ 1 ) = lim n→∞ ( (1−p)n +np(1−p)n−1 ) = 0 . 5. T è una variabile aleatoria discreta con supportoST⊆{ 2, 3,..., ∞}e densità discreta di probabilità pT (k) = P ( T =k ) = P(Ak) = ( k− 1)p2 (1−p)k−2, ∀ 2≤k< ∞, pT (∞) = P ( T =∞ ) = P(A∞) = 0 . In particolareT è q.c. finita: P…