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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione II Appello di Probabilità per Ingegneria Matematica 29 agosto 2017 c⃝ I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Problema 1. Una grande urna contiene 10 pillole, di cui 8 azzurre e 2 rosse. Morpheus estrae simul- taneamente 5 pillole dalla grande urna per poi riporle in una piccola urna. A questo punto Neo estrae 1 pillola dalla piccola urna, ovvero dalle 5 precedentemente estratte da Morpheus. SiaX il numero di pillole rosse estratte da Morpheus, siaY il numero di pillole rosse estratte da Neo. 1. Calcolare la probabilità diX = 1. 2. Calcolare la probabilità diX = 1 e Y = 1. 3. Calcolare la probabilità diY = 1. 4. Gli eventi (X = 1) e (Y = 1) sono indipendenti? 5. Le variabiliX e Y sono indipendenti? 6. Calcolare la legge congiunta diX e Y. 1 Risultati. 1. X ha legge ipergeometricaH(10, 2, 5) per cui P(X = 1) = (2 1 )(8 4 ) (10 5 ) = 5 9 = 0 .5556. 2. Y|X = 1 ha leggeB(1/5) per cui P(X = 1,Y = 1) = P(Y = 1|X = 1) P(X = 1) = 1 5 5 9 = 1 9 = 0 .1111. 3. P(Y = 1) = 2∑ k=0 P(Y = 1,X =k) = 2∑ k=1 P(Y = 1|X =k) P(X =k) = 1 5 5 9 + 2 5 (2 2 )(8 3 ) (10 5 ) = 1 5 5 9 + 2 5 2 9 = 1 5 = 0 .2. Del resto la doppia estrazione di Morpheus e Neo è solo un modo complicato di estrarre 1 pillola dalla grande urna. 4. Gli eventi (X = 1) e (Y = 1) sono indipendenti: P(X = 1,Y = 1) = P(Y = 1) P(X = 1) = 1 9. 5. Le variabiliX e Y non sono indipendenti: Y|X = 1∼B(1/5) mentre Y|X = 2∼B(2/5) e Y|X = 0∼B(0). 6. La legge congiunta diX e Y è caratterizzata dalla densità congiunta discreta Y\X 0 1 2 pY 0 2/9 4/9 2/15 4/5 1 0 1/9 4/45 1/5 pX 2/9 5/9 2/9 1 2 Problema 2. Un componente elettronico è costituito da due elementi in parallelo. I…