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Politecnico di Milano - Ingegneria Biomedica Analisi Matematica 1 e Geometria 18-6-2018 Esercizio 1. a. Calcolare il valore del seguente limite di successione lim n!+1 ( 3 √ n3 + 3n2 3 √ n3 + 2n2 ) : b. Determinare le soluzioni dell'equazione complessa jzj2 + z2 = iz + 1: Soluzioni a. Il limite induce una forma di indecisione del tipo [ 1 1]. Per sciogliere tale indecisione consideriamo lo sviluppo (1 + x)a = 1 + ax + o(x) per x ! 0; a 2 R: Scegliendo quindi l'in nitesimo x  1=n ed il valore a = 1=3, otteniamo 3 √ n3 + 3n2 3 √ n3 + 2n2 = ( n3 + 3n2) 1=3 ( n3 + 2n2) 1=3 = n [ ( 1 + 3 n ) 1=3 ( 1 + 2 n ) 1=3] = n [ 1 1 n + o ( 1 n ) ( 1 2 3n + o ( 1 n ))] = n [ 1 3n + o ( 1 n )] = 1 3 + o(1): Di conseguenza lim n!+1 ( 3 √ n3 + 3n2 3 √ n3 + 2n2 ) = 1 3 : b. Rappresentiamo z = x + iy, con x; y 2 R incogniti, e sostituiamo tale rappresentazione nell'equazione, per ottenere x2 + y2 + x2 y2 + 2ixy = ix y + 1: Eguagliando parte reale e parte immaginearia di entrambe i termini dell'equazione, si vede che le incognite reali x e y soddisfano il sistema 8 < : 2x2 = y + 1; 2xy = x; che ha come soluzioni 8 < : x = 0; y = 1; 8 >< >: x = 1 2 ; y = 1 2 ; e 8 >< >: x = 1 2 ; y = 1 2 : Pertanto, le soluzioni dell'equazione sono { i; 1 2 + i 1 2 ; 1 2 + i 1 2 } : Esercizio 2. Si consideri, al variare del parametro reale , il seguente sistema lineare 8 >>< >>: x + y + z = 2; x + y + 3z = 1; 2x + y z = 1: a. Calcolare, al variare di , le soluzioni del sistema. b. Calcolare il nucleo e l'immagine dell'applicazione lineare L : R3 ! R3 de nita da L 0 @ 2 4 x y z 3 5 1 A = 2 4 x + y + 3z x + y + 3z 2x + 3y z 3 5 : Soluzioni a. Poniamo A = 2 4 1 1 1 1 3 2 1 3 5 ; x = 2 4 x y z 3 5 e b = 2 4 2 1 1 3 5 ; da cui il sistema assume la forma compatta A x = b . Poich e detA = 2 5 + 6 = ( 2)( 3);…