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1 ()ut ()Gs )(ty 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Impulse Response Time (sec) Amplitude 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Impulse Response Time (sec) Amplitude Step Res pons e Time (s ec) Amplitude 0 0.5 1 1.5 2 2.50 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 A B C tempo t (s) tempo t (s) tempo t (s) y(t) y(t) y(t) SOLUZIONI PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Bittanti, BIO A-K) 18 Luglio 2007 1. Si considerino il seguente sistema dinamico lineare a coefficienti costanti: con 3() (4 ) sGs ss += + , e i diagrammi seguenti A, B, C. Per ciasc una delle affermazioni sotto riportate, si dica se sia vera o falsa, giustificando le risposte in base all’applicazione di opportuni teoremi. 1.a Il diagramma A rappresenta la risposta y(t) del sistema in corrispondenza di un ingresso -() s i n ( 2) ()tut e ts c at= . 1.b Il diagramma C rappresenta la risposta y(t) del sistema in corrispondenza di un ingresso --() () () ttut e r a m pt t e s c at== . 1.c Il diagramma B rappresenta la risposta y(t) del sistema in corrispon denza di un ingresso --() () () ttut e r a m pt t e s c at== . Soluzione 1.a VERO: il diagramma A rappresenta la risposta y(t) de l sistema in corrispond enza di un ingresso -() s i n ( 2) ()tut e ts c at= . Infatti, si ha che - 22 23 2( ) s i n ( 2 ) ( ) () () () () (1 )4 (4 ) (1 )4 t sut e ts c at U s Y s GsU s ss s s +⎯⎯→== ⇒ = = ←⎯⎯ ++ + ++ L , perciò y(t) dovrà avere nel propri o andamento oscillazioni smorzate, per via dei poli complessi coniugati a parte reale negativa ( 1 2 j−± ); inoltre, grazie al teorema del valore finale, che si può applicare in quanto Y(s) ha poli solo nell’origine o a parte reale negativa, si ottiene che 2 00 0 22 32 3 2 6lim ( ) lim ( ) lim lim 0.3 (4 ) (1 )4 4 (1 )4 4 5 ts s s ssyt s Y s s…