18gennaio19

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Analisi Matematica II - 18 gennaio 2019 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Scrivere l’equazione integrale di Volterra (1 punto). Dimostrarne l’equivalenza con un problema di Cauchy y′ =f(t,y ), y(t0) = y0 assumendo che f sia una funzione continua (2 punti). Domanda 2 Si consideri una successione di funzioni fn : (a,b )→ R. (a) Definire la convergenza uniforme di {fn} a una funzione f : (a,b )→ R. (1 punto) (b) Se le funzioni fn sono limitate, ma non necessariamente continue, cosa posso dire della funzione f? (1 punto) Analisi Matematica II - 18 gennaio 2019 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Sia fn(x) = x 1 +n|x| log|x| +n n . Si determini l’insieme di convergenza puntuale e l’insieme di convergenza uniforme della serie +∞∑ n=1 fn(x). Soluzione. Le funzioni sono dispari, quindi basta studiarle in [0 , +∞). Per ogni x∈ [0, +∞) 0≤fn(x)≤ x2 n(1 +nx), quindi la serie converge puntualmente in R e, per il criterio di Weierstrass, converge uniforme- mente su ogni intervallo limitato. Poich´ e ognifn ` e illimitata suR, la convergenza non pu` o essere uniforme su alcun intervallo illimitato. Esercizio 2. Calcolando l’integrale generale e/o mediante studio qualitativo, si disegni il grafico della soluzione di { y′ =t2 siny, y(0) = π 2 discutendone le caratteristiche (intervallo massimale di definizione, simmetrie, punti di massi- mo/minimo, convessit` a, flessi, asintoti...) Soluzione. L’equazione ` e a variabili separabili, la soluzione ` e y(t) = 2 arccote−t3/3. Si pu` o studiare la soluzione esplicita, oppure disegnare il grafico usando metodi qualitativi.…