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Corso di Statistica - Prof. F abio Zucca V Appello - 19 febbraio 2015 Nome e cognome: Matricola: c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. 8994 Esercizio 1 Si sa che il 60% degli studenti del corso studia solo la prima met` a del programma mentre il rimanente 40% studia il programma intero. Supponiamo che tutti gli studenti imparino ci` o che studiano, che il docente scelga a caso due domande indipendentemente nelle due met` a del corso e che ciascuna domanda abbia probabilit` a 1/2 di appartenere alla prima met` a del corso. Per superare l’esame basta rispondere ad almeno una delle due domande. 1. Dato che le domande sono entrambe inerenti alla prima met` a del corso, qual ` e la probabilit` a che uno studente preso a caso superi l’esame? 2. Dato che le domande sono entrambe inerenti alla seconda met` a del corso, qual ` e la probabilit` a che uno studente preso a caso superi l’esame? 3. Dato che le domande sono una sulla prima e una sulla seconda met` a del corso, qual ` e la probabilit` a che uno studente preso a caso superi l’esame? 4. Qual ` e la probabilit` a che uno studente preso a caso superi l’esame? 5. Se uno studente passa l’esame, qual ` e la probabilit` a che siano state estratte due domande inerenti alla II met` a del corso? 1 Soluzione. Definiamo i seguenti eventi: A1=“studente prepara I met` a del corso”,AT =“studente prepara tutto il corso”, ‘ D1=“due domande su I met` a”,D2=“due domande su II met` a”,D3=“una domanda su I met` a e una domanda su II met` a” eS=“studente passa esame”. Si osservi che A1∩AT =∅ = Di∩Dj per ogni i̸= j. Inoltre Aj e Dj sono sempre indipendenti per ogni scelta degli indici. Infine P(A1) = 3/5, P(AT ) = 2/5, P(D1) = P(D2) = 1/4 e P(D3) = 1/2. Lo studente passa l’esame…