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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione - AA 2018/2019 II Prov a in Itinere di Probabilità per Ingegneria Matematica - 21 giugno 2019 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Esercizio 1. Si consideri il vettore aleatorioX = (X1,X 2) di funzione caratteristica ϕX : R2→ C, ϕ X(u1,u 2) = 4 1− cos(u1 +u2) (u1 +u2)2 1− cosu2 u2 2 . OvviamenteϕX è definita per continuità dove si annulla il denominatore. 1. Trovare le funzioni caratteristiche marginaliϕX1 e ϕX2. 2. Sapendo cheX1 è integrabile, calcolarne il valore atteso. 3. Verificareche X1 èunavariabilealeatoriacontinuadidensitàtriangolare fX1(s) = ( 1−|s| ) I[−1,1](s). Si consideri il vettore aleatorio Y = (Y1 Y2 ) = (1 0 a 1 )(X1 X2 ) , a ∈ R. 4. Trovare la funzione caratteristicheϕY, ϕY1 e ϕY2 al variare del parametroa. 5. Trovare i valori dia che rendono indipendentiY1 e Y2. 1 Risultati. 1. ϕX1(u1) = 2 1− cosu1 u2 1 , ϕ X2(u2) = 4 (1− cosu2 u2 2 )2 =ϕX1(u2)2. 2. E[X1] =−iϕ′ 1(0) =−i 2u1 sinu1− 2 + 2 cosu1 u3 1 ⏐⏐⏐ u1=0 = 0. Del resto E[X1] e ϕ′ 1(0) sono numeri reali, per cui devono necessariamente annullarsi. 3. Sia W una variabile aleatoria continua di densità triangolarefW (s) = ( 1−|s| ) I[−1,1](s). Allora ϕW (u) = ∫ +∞ −∞ eiusfW (s) ds = ∫ 1 −1 ( cos(us) + i sin(us) )( 1−|s| ) ds = ∫ 1 −1 cos(us) ( 1−|s| ) ds = 2 1− cosu u2 =ϕX1(u) per cuiX1 ha la stessa legge diW. 4. PostoY =AX si trova ϕY (v1,v 2) =ϕX(ATv) =ϕX(v1 +av2,v 2) = 4 1− cos ( v1 + (1 +a)v2 ) ( v1 + (1 +a)v2 )2 1− cosv2 v2 2 . ϕY1(v1) = 2 1− cosv1 v2 1 , ϕ Y2(v2) =    4 1− cos ( (1 +a)v2 ) ( (1 +a)v2 )2 1− cosv2 v2 2 , se a̸= 1, 2 1− cosv2 v2 2 , se a = 1. 5. Y1 e Y2 sono indipendenti se e solo seϕY (v1,v 2)…