190830sol

Pagina 1

Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione - AA 2018/2019 III Appello di Probabilità per Ingegneria Matematica - 30 agosto 2019 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Esercizio 1. Si lancia una moneta con probabilità diTestapari ap, 0<p< 1. Se esce Testa, si eseguono estrazioni con reimmissione da un’urna contenente 3 palline bianche e 2 nere, se esce Croce si eseguono estrazioni con reimmissione da un’urna contenente 2 palline bianche e 3 nere. Sia Bn l’evento “l’n-esima pallina estratta è bianca”. 1. Calcolare P(Bn) e i suoi limiti perp→ 0 e perp→ 1. 2. Calcolare P(B1,...,B n). 3. Calcolare P(Testa|B1,...,B n) e il suo limite pern→∞ . 4. Calcolare P(Bn+1|B1,...,B n) e il suo limite pern→∞ . 5. Nel casop = 0.5 gli eventiBn, n≥ 1, sono indipendenti? 1 Risultati. 1. P(Bn) = P(Bn|Testa) P(Testa) + P(Bn|Croce) P(Croce) = 3 5p + 2 5 (1−p) = 1 5p + 2 5 per cui lim p→0 P(Bn) = 2 5, lim p→1 P(Bn) = 3 5. 2. P(B1,...,B n) = P(B1,...,B n|Testa) P(Testa) + P(B1,...,B n|Croce) P(Croce) = (3 5 )n p + (2 5 )n (1−p) = 3n− 2n 5n p + 2n 5n. 3. P(Testa|B1,...,B n) = P(B1,...,B n|Testa) P(Testa) P(B1,...,B n) = (3 5 )n p(3 5 )n p + (2 5 )n (1−p)→ 1. 4. P(Bn+1|B1,...,B n) = (3 5 )n+1 p + (2 5 )n+1 (1−p)(3 5 )n p + (2 5 )n (1−p) → 3 5. 5. Perp = 0.5 gli eventiBn non sono indipendenti. Infatti, per esempio, P(B2|B1) = (3 5 )2 + (2 5 )2 3 5 + 2 5 = 13 25̸= 1 2 = P(B2). 2 Esercizio 2. Data una variabile aleatoria esponenziale di media 1/2, X∼E (2), si consideri il vettore aleatorio Y = (X X 2 ) . 1. Il vettore aleatorioY è continuo? È discreto? 2. Calcolare il valore atteso del vettore,E[Y ]. 3. Calcolare la varianza del vettore,Var(Y ), e il suo determinante. 4. Calcolare…