19febbraio2015

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Analisi Matematica II - 19 febbraio 2015 Cognome: Nome: Matricola: Domanda 1 . Enunciare il teorema di Stokes, precisando accuratamente tutte le ipotesi neces- sarie affinch´ e gli integrali abbiano senso. Domanda 2 Si consideri una successione di funzioni derivabili fn : (a,b )→ R, n = 0, 1, 2,... Quale condizione garantisce l’esistenza di f(x) = limnfn(x) con f funzione derivabile? Domanda 3 Sia y′ =f(y) un sistema di N equazioni differenziali autonome e sia f(0) = 0. Si definisca una funzione di Liapunov per il punto y = 0. Analisi Matematica II - 19 febbraio 2015 Cognome: Nome: Matricola: Esercizio 1 . 1. Determinare una parametrizzazione regolare del grafico della funzione f : [1, 2] → R, definita da f(x) =x + log(x). 2. Scrivere l’espressione per calcolarne la lunghezza. 3. Determinarne il versore tangente e normale. 4. Determinarne la curvatura. Esercizio 2 . Calcolare lo sviluppo di Taylor in (0 ,π ) con resto di Peano al quarto ordine di f(x,y ) = log(1−x2 cos(y)). Dedurre dallo sviluppo di Taylor il piano tangente al grafico della funzione nel punto (0 ,π, 0) Esercizio 3 . Sia dato il sistema lineare { x′ = (k + 1)x +y y′ =−kx +y, dovek∈ R. 1. Determinare la stabilit` a dell’origine al variare del parametro k. 2. Nel caso k = 4 trovare la matrice esponenziale associata al sistema OPPURE trovare l’integrale generale del sistema. Esercizio 4 . Sia dato il problema di Cauchy nel semipiano x> 0 { y′ = 2x sin x2−ey xey y(1) = 0. 1. Sono verificate le ipotesi del teorema di esistenza e unicit` a locale? Globale? 2. Trovare la soluzione.