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Analisi Matematica II - 01 luglio 2015 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Enunciare le formule di Fr´ enet. Domanda 2 Enunciare il criterio di Weierstrass per la convergenza di una serie di funzioni. Domanda 3 Definire un sistema Hamiltoniano autonomo e mostrare che l’Hamiltoniana ` e una costante del moto. Analisi Matematica II - 01 luglio 2015 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Senza calcolare alcuna derivata, scrivere lo sviluppo in serie di Taylor in x0 = 1 di f(x) = 1 x2 e determinare il raggio di convergenza della serie (suggerimento: ricordare i teoremi sulle serie derivate o primitive). Esercizio 2 . Sia data la forma differenziale ω = (x2 +y)dx + (x2 +y2)dy e la curva nel piano γ parametrizzata da r : [0, 2π]→ R2, r (t) = (cost, sint). 1. Determinare se ω ` e chiusa e se ` e esatta. 2. Calcolare ∫ γω. Esercizio 3 . Sia data l’equazione di Newton m¨x =−x3 +ax2. 1. Si trovino i punti di equilibrio al variare del parametro a e se ne discuta la stabilit` a. 2. Per quali valori di a il sistema ammette orbite periodiche? Per quali soluzioni omocline? 3. Per a = 1 si traccino alcune orbite del sistema nel piano delle fasi.