2 Esecizi su stimatori

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Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1. Sia X1,...,X n un campione casuale da una legge uniforme sull’intervallo [0 ,θ ], θ> 0. (a) Si determini uno stimatore di θ col metodo dei momenti. (b) Lo stimatore trovato ` e corretto? (c) `E sufficiente? Esercizio 2. SiaX1,...,X n un campione casuale da una legge uniforme sull’intervallo [a,b ]. Si stimino a e b col metodo dei momenti. Esercizio 3. Sia X1,...,X n un campione di rango n di variabili aleatorie indipendenti di densit` a fθ(x) =θxθ−11(0,1)(x), θ> 0. (a) Calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza ˆθn di θ. (b) Determinare e riconoscere le leggi di − logXk e di−∑n k=1 logXk. (c) ˆθn ` e distorto? (d) Calcolare l’errore quadratico medio di ˆθn. [ θ2(n + 2)/ ( (n− 1)(n− 2) ) ] Esercizio 4. `E noto che mediamente solo il 40% degli individui appartenenti ad una certa specie sopravvive alla prima settimana di vita. Una popolazione di tali individui viene censita ad una settimana dalla apertura delle uova trovando k individui. Si vuole stimare il numero n di uova schiuse. Qual ` e lo stimatore di massima verosimiglianza N di n? Quale stima fornisce se k = 400? Esercizio 5. SiaX1,...,X n un campione casuale da U ( [θ− 1 2,θ + 1 2] ) ,θ∈ R. Calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza ˆθn di θ. Esercizio 6. Sia X1,...,X n un campione casuale da una legge di Bernoulli di parametro p, p∈ (0, 1). Mostrare che non esiste lo stimatore di massima verosimiglianza se si osserva il campione 0 ,..., 0 o 1,..., 1. Esercizio 7. Sia X1,...,X n una famiglia di variabili aleatorie indipendenti e tutte distribuite secondo una legge esponenziale di parametro λ. Ciascun Xi rappresenta l’istante di disintegrazione di un nucleo di un certo elemento radioattivo. Per ogni t≥ 0 fissato siano: • Yi la v. a.…