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Analisi Matematica II - 20 Aprile 2012 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d’ iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Esercizio 1 . Si consideri un’applicazione lineare f :Rp →Rq e una sua matrice rappresentativa A. (a) Enunciare il teorema dimensionale (detto della nullit` a pi´ u rango). (b) Sotto quali condizioni su A si pu` o garantire chef sia suriettiva? Sotto quali condizioni si pu´ o garantire chef sia suriettiva e iniettiva? Motivare le risposte. Soluzione. (a) Data un’applicazione lineare f :Rp →Rq, il teorema dimensionale (o di nullit` a pi` u rango) afferma chedim kerf +dim Imf = p (in alternativa, detta A la matrice rappresentativa di f il teorema si pu` o enunciare nella forma dim kerA + r(A) = p dove r(A) indica il rango di A). (b) f suriettiva significa Imf =Rq. Tenendo conto del fatto che dim Imf = r(A), dimRq = q e che r(A) ≤ min(p, q) la condizione su A ` eq ≤ p e r(A) = q; f iniettiva equivale a dim kerf = 0 ovvero r(A) = p e p ≤ q e, tenuto conto della suriettivit` a, la condizione su A si traduce in p = q e r(A) = p. Esercizio 2 Sia f : A ⊂R2 − →R, dove A = {(x, y) : 0 < x 2 + y2 < 1}. (a) Dare la definizione di lim(x,y)→(0,0) f (x, y) = L. (b) Stabilire sotto quale condizione f ` e prolungabile con continuit` a in(0, 0). Motivare le risposte. Soluzione. (a) lim(x,y)→(0,0) f (x, y) = L significa: ∀ε > 0, ∃δ > 0 tali che ∀(x, y) ∈ A con 0 < |(x, y)|< δ si abbia |f (x, y) − L|< ε. (b) f ` e prolungabile con continuit` a in(0, 0) se lim(x,y)→(0,0) f (x, y) esiste finito. Esercizio 3 `E possibile che un sistema lineare di 3 equazioni in 4 incognite non ammetta soluzioni? E un sistema lineare omogeneo? Motivare le risposte. Soluzione. `E possibile che un sistema lineare di 3 equazioni in 4 incognite non ammetta soluzioni, infatti,…