Study material for Analisi Matematica 2, shared by the Studwiz community and reviewed by moderators.
Study material for Analisi Matematica 2, shared by the Studwiz community and reviewed by moderators.
Import quality: text was extracted directly from the original document.
Representative passages recognised in different parts of the material. The full extracted text remains available to search, while this compact preview makes the page easier to read.
Analisi Matematica II - 20 Aprile 2012 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d’ iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Esercizio 1 . Si consideri un’applicazione lineare f :Rp →Rq e una sua matrice rappresentativa A. (a) Enunciare il teorema dimensionale (detto della nullit` a pi´ u rango). (b) Sotto quali condizioni su A si pu` o garantire chef sia suriettiva? Sotto quali condizioni si pu´ o garantire chef sia suriettiva e iniettiva? Motivare le risposte. Soluzione. (a) Data un’applicazione lineare f :Rp →Rq, il teorema dimensionale (o di nullit` a pi` u rango) afferma chedim kerf +dim Imf = p (in alternativa, detta A la matrice rappresentativa di f il teorema si pu` o enunciare nella forma dim kerA + r(A) = p dove r(A) indica il rango di A). (b) f suriettiva significa Imf =Rq. Tenendo conto del fatto che dim Imf = r(A), dimRq = q e che r(A) ≤ min(p, q) la condizione su A ` eq ≤ p e r(A) = q; f iniettiva equivale a dim kerf = 0 ovvero r(A) = p e p ≤ q e, tenuto conto della suriettivit` a, la condizione su A si traduce in p = q e r(A) = p. Esercizio 2 Sia f : A ⊂R2 − →R, dove A = {(x, y) : 0 < x 2 + y2 < 1}. (a) Dare la definizione di lim(x,y)→(0,0) f (x, y) = L. (b) Stabilire sotto quale condizione f ` e prolungabile con continuit` a in(0, 0). Motivare le risposte. Soluzione. (a) lim(x,y)→(0,0) f (x, y) = L significa: ∀ε > 0, ∃δ > 0 tali che ∀(x, y) ∈ A con 0 < |(x, y)|< δ si abbia |f (x, y) − L|< ε. (b) f ` e prolungabile con continuit` a in(0, 0) se lim(x,y)→(0,0) f (x, y) esiste finito. Esercizio 3 `E possibile che un sistema lineare di 3 equazioni in 4 incognite non ammetta soluzioni? E un sistema lineare omogeneo? Motivare le risposte. Soluzione. `E possibile che un sistema lineare di 3 equazioni in 4 incognite non ammetta soluzioni, infatti,…
First page of the document.
