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1 SOLUZIONI PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Bittanti, BIO A-K) 20 Luglio 2006 1. Si consideri il seguente sistema dinamico a tempo continuo descritto mediante schema a blocchi: 1.a Si calcoli la funzione di trasferimento ()Gs dal segnale ()ut al segnale )(ty . 1.b Applicando opportunamente i teoremi del valore inizia le e/o del valore finale, si associno a ciascuno dei grafici A, B, C, D seguenti le risposte 12() , () ,yt yt 34() , ()yt yt corrispondenti ai seguenti ingressi: 12 3() () , () () , () () , tu t imp t u t e sca t u t sca t−== = 4 ()ut con trasformata di Laplace 4 () 1 sUs s= + . Soluzione 1.a Si possono considerare tre “passi”: ()ut + + 3 2 s s + + ()yt 1 s − 1 s + _ 0 2 4 6 80 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Impulse Response Time (sec) Amplitude 0 2 4 6 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Step Response Time (sec) Amplitude 0 2 4 6 80 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Step Response Time (sec) Amplitude 0 2 4 6 8-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Impulse Response Time (sec) Amplitude A B C D 1 3s + ()ut + + 3 2 s s + + ()yt 1 s − 1 s + _ 1 3s + ()wt ()zt 2 Rosso: fdt da ( )wt a ( )zt (cascata): 3 2 s s + + 1 3s + = 1 2s + (è la funzione d’andata nella retroazione blu). Blu: fdt da ( )ut a ( )zt (retroazione positiva): () 2 1 2 11 11 2 ss s ss + = ⎛⎞ +−⋅ − ⎜⎟+ ⎝⎠ . Fdt da ()ut a ()yt (parallelo): () () 22 12 1() 11 ssGs s ss s +=− = ++ . 1.b Calcoliamo innanzitutto le tras formate di Laplace delle uscite 12() , () ,yt yt 34() , ()yt yt del sistema, corrispondenti rispettivamente agli ingressi 12() , () ,utut 34() , ()utut : () () () 11 1 1 2 22 2 2 3 31 3 3 22 21() () ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 12 1( ) ( ) () () () () 1 1 12 1( ) ( ) () () () () 1 t sut i m p t Us Y s G s Us ss sut es c a t Us Ys G s Us s ss sut s c a t Us Ys G s Us s ss − +=⇒ = ⇒ = = + +=⇒ = ⇒ = = + + +=⇒ = ⇒ = = + 4 ()ut…