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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione - AA 2018/2019 IV Appello di Probabilità per Ingegneria Matematica - 14 gennaio 2020 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Esercizio 1. Ogni mattina Adrik e Baern escono a cercare funghi e, tornati a casa, consegnano a Darrak il frutto della loro ricerca. Ciascuno dei due torna a casa non appena trova due funghi, o comunque dopo 20 minuti di ricerca. Il risultato è che ogni giorno il numero di funghiX consegnati a Darrak da Adrik ed il numero di fungiY consegnati a Darrak da Baern sono casuali, compresi fra 0, 1 e 2. Indichiamo conW e Z la minima e la massima consegna giornaliera fra quelle di Adrik e Baern. 1. ScrivereW e Z in funzione diX ed Y. Sappiamo cheX ed Y sono entrambi uniformemente distribuiti fra 0, 1 e 2, ma non conosciamo la loro distribuzione congiunta. Supponiamo inizialmente che la distribuzione congiunta diX ed Y sia data da 2 0 1/6 1/6 1 1/6 0 1/6 0 1/6 1/6 0 Y\X 0 1 2 2. I numeri di funghi consegnati giornalmente da Adrik e Baern sono indipendenti? 3. Calcolare Cov(X,Y ), la covarianza fraX ed Y. 4. Trovare la distribuzione congiunta e le distribuzioni marginali diW e Z. Scopriamo invece ora che la distribuzione diZ è data da Z 0 1 2 3/12 2/12 7/12 5. I numeri di funghi consegnati giornalmente da Adrik e Baern sono indipendenti? 6. Trovare la distribuzione diW. 1 Risultati. 1. W = min{X,Y}, Z = max{X,Y}. 2. I numeri di funghi consegnati giornalmente da Adrik e Baern NON sono indipendenti: 0 = P(X =Y = 1)̸= P(X = 1) P(Y = 1) = 1 9. 3. Cov(X,Y ) = E[XY ]− E[X] E[Y ] = 2 1 6 + 2 1 6 + 4 1 6− 1 = 1 3. 4. La distribuzione congiunta e le distribuzioni marginali diW e Z sono date da pW 1/2 1/3…