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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi 1° prova parziale, 4/5/2010 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 8 7 7 4 4 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consu ltare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) In un’azienda manifatturiera, la produzione è ripartita su un elevato numero di macchine tra loro uguali. Sono note le probabilità che una macchina incorra in un gu asto nel corso di un ann o, in relazione alla sua età. età da 0 a 1 anno da 1 a 2 anni da 2 a 3 anni da 3 a 4 anni Prob. guasto 0 0.1 0.2 0.3 In caso di guasto, la macchina viene eliminata poiché la riparazione non è conveniente. Ogni macchina viene comunque eliminata al compimento del quarto anno di attività, in quanto obsoleta. a) Descrivere l’evoluzione nel te mpo dell’insieme delle macchine mediante un sistema dinamico a tempo discreto, in cui ሻ indichi il numero di nuove macchine acquistate e ሻ il totale di macchine in servizio. b) Studiare la stabilità del sistema, discutendo an che il tempo di risposta e l’eventuale presenza di oscillazioni nel movimento libero. c) Determinare la funzione di trasferimento del sistema. d) Si ipotizzi ora che l’attività di ciascuna macchina frutti un profitto annuo ݌e che il costo per l’acquisto di una nuova macchina sia ܿModificare il modello precedente, assumendo che l’azienda spenda ogni anno per l’acquisto di nuovi macchinari esattamente la frazione ൏1 del profitto ottenuto. e) Studiare la…