20220412 I Itinere

Pagina 1

Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione - AA 2021/2022 I Prov a in Itinere di Probabilità per Ingegneria Matematica - 12 aprile 2022 ©I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. CODICE PERSONA, COGNOME, NOME: Esercizio 1. Un tiratore lancia due dadi a 4 facce, equilibrati e indipendenti fra di loro. Determinare: 1. la distribuzione della sommaX. Consideriamo allora un gioco dove, fissato un punteggiok ̸= 5, un tiratore continua a lanciare i due dadi a 4 facce finché come somma esce il punteggio k (nel qual caso vince) o esce 5 (nel qual caso perde). I lanci sono indipendenti per cui, dettaXn la somma dei dadi al lancion-esimo, n ≥ 1, le variabili Xn risultano indipendenti. Per ogni punteggiok = 3, 4, 6, 7, determinare: 2. la probabilità pk che il gioco finisca al primo lancio, 3. la distribuzione della durataT del gioco, ovvero del numeroT di lanci del tiratore, 4. la probabilità che il gioco non finisca mai, 5. la probabilità vk che il tiratore vinca. Consideriamo infine krapoj, gioco dove un lancio 0 precede il gioco descritto sopra, sorteggiando il valore del punteggio. Il tiratore osserva infatti la sommaX0 di questo lancio 0 e • se X0 vale 5, il tiratore ha vinto, • se X0 vale 2 o 8, il tiratore ha perso, • se X0 vale 3, 4, 6 o 7, tale risultato diventa il punteggio del tiratore, che deve continuare a lanciare i dadi finché esce di nuovo il punteggio (nel qual caso vince) o esce 5 (nel qual caso perde). Determinare: 6. la probabilità che il tiratore vinca al lancio 0, 7. la probabilità che il tiratore vinca a krapoj. 1 Risultati. 1. X è una variabile aleatoria discreta con supporto e densità discreta k 2 3 4 5 6 7 8 pX (k) 1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16 1 2. La…