20giugno19

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Analisi Matematica II - 20 giugno 2019 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Si consideri una successione di funzioni fn : (a,b )→ R, e si assuma che fn→ f uniformemente. Sia x0∈ (a,b ) e si supponga che ln = limx→x0fn(x) esista finito per ogni n. Si dimostri che: 1. esiste finito l = limn→∞ln (2 punti) 2. esiste finito lim x→x0f(x) (2 punti) 3. i due limiti sono uguali (1 punto). Domanda 2 Siay′ =A(t)y un sistema lineare din equazioni differenziali. Si definisca la matrice Wronskiana (2,5 punti) e si enunci il teorema di Liouville (2,5 punti). Analisi Matematica II - 20 giugno 2019 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Dato il campo vettoriale F (x,y,z ) = ( 2x +√z, 1 z, x 2√z− y z2 ) , mostrare che ` e conservativo e calcolarne un potenziale. Soluzione. Se esistesse un potentiale V (x,y,z ), allora per definizione di potenziale avremmo ∂V ∂x = 2x +√z, ∂V ∂y = 1 z , ∂V ∂z = x 2√z− y z2 , quindi V (x,y,z ) =x2 +x√z +c1(y,z ), V (x,y,z ) = y z +c2(x,z ), V (x,y,z ) =x√z + y z +c3(z,y ). La funzione V (x,y,z ) =x2 +x√z + y z soddisfa le tre uguaglianze, quindi ` e un potenziale perF , quindi F ` e conservativo. Esercizio 2 . Calcolare ∫ S z ydσ, con S ={(x,y,z )∈ R3 : x =y2 +z2,x≤ 3,y≥z≥ 0}. Soluzione. La superficie S si pu` o parametrizzare come segue: r(u,v ) = (u2 +v2,u,v ), u 2 +v2≤ 3,u≥v≥ 0. Poich´ e ru(u,v ) = (2u, 1, 0), e rv(u,v ) = (2v, 0, 1), allora ∫ S z ydσ = ∫ D v u √ 1 + 4u2 + 4v2dudv. con D ={u2 +v2≤ 3,u≥ 0}. In coordinate polari ∫ π 4 0 ∫ √ 3 0 ϱ tanϑ √ 1 + 4ϱ2dϱdϑ = (∫ π 4 0 tanϑdϑ ) (1 2 ∫ 3 0 √ 1 + 4rdr ) = log 2 2 1 12(13 √ 13− 1). Esercizio…