21 01 19

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ANALISI MATEMATICA 1 Area dell’Ingegneria dell’Informazione Appello del 21.01.2019 TEMA 1 Esercizio 1 Si consideri la funzione f(x) =e |x2−16| x+3 , x ∈D =]−∞,−3[. i) determinare i limiti dif agli estremi diD e gli eventuali asintoti; studiarne la prolungabilit` a per continuit` a in x =−3; ii) studiarne la derivabilit` a, calcolarne la derivata, studiarne la monotonia e determinarne gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto. Svolgimento. i) Osserviamo che lim x→−∞ |x2− 16| x + 3 =−∞, lim x→−3− |x2− 16| x + 3 =−∞ quindi con un cambio di variabile lim x→−∞ f(x) = lim y→−∞ ey = 0, lim x→−3− f(x) = lim y→−∞ ey = 0. In particolare f ha un asintoto orizzontale ( y = 0) per x→−∞ . Inoltre f pu` o essere prolungata come funzione continua da sinistra in −3 ponendo f(−3) = 0. ii) Calcoliamo, per x̸=−4, f′(x) =e |x2−16| x+3 d dx |x2− 16| x + 3 =e |x2−16| x+3 sgn (x2− 16)2x(x + 3)−|x2− 16| (x + 3)2 =e |x2−16| x+3 sgn (x2− 16)2x(x + 3)− (x2− 16) (x + 3)2 =e |x2−16| x+3 sgn (x2− 16)x2 + 6x + 16 (x + 3)2 , dove “sgn ” indica la funzione segno. Osservando chee |x2−16| x+3 > 0 e (x + 3)2> 0 per ogni x∈D, vogliamo valutare il segno di (x2 + 6x + 16)sgn (x2− 16) Calcolando il discriminante di x2 + 6x + 16, ∆ = 36− 64< 0 si ottiene che x2 + 6x + 16> 0 per ogni x. Inoltre sgn (x2− 16)> 0 ⇔ x2− 16> 0 ⇔ |x|> 4 ⇔ x< −4 o x> 4. Poich´ e ci interessano solo i valori dix∈ D, ovvero x <−3, otteniamo sgn (x2− 16) > 0 per x <−4 e sgn (x2− 16)< 0 per−4<x< −3. Ne risulta f′(x)> 0 (e quindi f crescente) per x< −4, f ′(x)< 0 (e quindi f decrescente) per x∈]− 4,−3[, da cui segue che −4 ´ e un punto massimo assoluto e per il teorema di Fermat, non possono esservi altri punti di estremo. 1 -5.0 -4.5 -4.0 -3.5 -3.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Figura 1: Il grafico di f (Tema 1). Infine x =−4 ` e l’unico…