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1 SOLUZIONI PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Bittanti, BIO A-K) 21 Settembre 2007 1. Si consideri il seguente sistema dinamico lineare a coefficienti costanti a tempo continuo: ove 32 432 ( 2)(12 20 70 12)() s+ a s+ 8 s+ 3 2 s + b ss s sGs +− − −= e con a e b parametri reali. 1.a Usando il criterio di Routh-Hurwitz, si determini per quali valori di a e b il sistema è asintoticamente stabile. 1.b Si verifichi che per a=–8 e b=–48 G(s) è la funzione di trasferimento del sistema dinamico seguente: 112 3 21 32 123 10 28 24 100 406 276 12 xxxx u xx xx yx x x u =− + +⎧ ⎪ =⎪⎨ =⎪ ⎪ =− + +⎩    giustificando opportunamente la risposta. 1.c Si consideri ancora G(s) con a=–8 e b=–48, ossia la funzione di trasferimento trovata al punto 1.b. Si intende determinare l’espressione analitica della risposta y(t) del sistema in corrispondenza di un ingresso 31() s i n ( 3) ()3 tut te s c at −= . Si scelga, tra le proposte A, B, C, D seguenti, quale sia l’espressione corretta, indicando chiaramente tutti i passaggi da eseguire per ottenere tale espressione: A. 62 3 3 2() () () c o s ( 3) () ( 3) () 3 tt t ty t e sca t e ramp t e t sca t e sin t sca t−−=+ − + B. 62 3 3() () () c o s ( 3) () 2 ( 3) ()tt t ty t e sca t e ramp t e t sca t e sin t sca t−− − −=+ − + C. 262 3() () () () c o s ( 3) () 2 ( 3) ()ttt ty t e sca t e sca t e ramp t t sca t e sin t sca t −=++ − + D. 62 3 3() () () c o s () () 2 () ()tt t ty t e sca t e sca t e t sca t e sin t sca t−−=+− + Nota: si osserva che il denominator e della funzione di trasferimento G(s) considerata si può scrivere equivalentemente, ad esempio, come 2( ) (s 4s+4)(s 6)GDs = −− . Soluzione 1.a Per applicare il criterio di R outh-Hurwitz al denominatore di G(s), ci si deve riferire alla tabella (di cinque righe, visto che il denominatore di…