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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione - AA 2020/2021 II Prov a in Itinere di Probabilità per Ingegneria Matematica - 25 giugno 2021 ©I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Scrivere CODICE PERSONA, COGNOME, NOME sul foglio che consegnerete Esercizio 1. Un sofisticato macchinario produce componenti elettronici. La durataT di un tale com- ponente dipende dalla temperaturaX di produzione. Misurando infattiT in anni eX in gradi Kelvin, condizionamente al fatto cheX =x, T segue una distribuzione esponenziale di parametrox: T|X =x∼E (x). Converrebbe quindi avereX prossima allo 0. Tuttavia, ad ogni componente prodotto,X risulta casuale con distribuzioneU (0.5, 1). In questo casoT risulta L2, cosa che si può dar per scontata nel seguito. 1. Determinare E[T|X] e Var(T|X). 2. Determinare media e varianza diT. 3. Fissato t > 0, sia Yt = I(T>t ) la variabile di Bernoulli che indica se un componente è ancora funzionante dopot anni; determinarne l’attesa condizionataE[Yt|X] e l’attesa E[Yt]. 4. Calcolare la funzione di ripartizione diT e spiegare come maiT è una variabile aleatoria continua. 5. Determinare la densità diT, l’intensità di guasto diT, ed analizzare il comportamento asintotico di quest’ultima. 1 Risultati. 1. Dalle proprietà dell’esponenziale, si ha E[T|X] = 1 X, Var(T|X) = 1 X 2. 2. Osserviamo preventivamente che E [ 1 X ] = ∫ 1 xfX (x) dx = 2 ∫ 1 0.5 1 x dx = 2 ln 2, E [ 1 X 2 ] = ∫ 1 x2fX (x) dx = 2 ∫ 1 0.5 1 x2 dx = 2; usando ora attese iterate e decomposizione della varianza, ricaviamo E[T ] = E [ E[T|X] ] = E [ 1 X ] = 2 ln 2≃ 1.3863, Var(T ) = E [ Var(T|X) ] + Var ( E[T|X] ) = E [ 1 X 2 ] + Var ( 1 X ) = E [ 1 X 2 ] + { E [ 1 X 2 ] − ( E [ 1 X ])2} = 4− 4(ln 2)2≃…