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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione - AA 2021/2022 II Appello di Probabilità per Ingegneria Matematica - 4 luglio 2022 ©I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. CODICE PERSONA, COGNOME, NOME: Esercizio 1. Simone lancia ripetutamente una moneta e conta quanti lanci servono per osservare entrambi i lati della moneta. Introduciamo pertanto le variabili Xn = ( 1, se esce testa al lancion, 0, altrimenti, n ≥ 1, T = il lancio in cui Simone osserva per la prima volta un risultato diverso daX1. Come al solito si intende che, se Simone non osserva mai un risultato diverso daX1, allora T = ∞. Sia p la probabilità ditesta, 0 < p < 1. 1. Esprimere l’evento(T = ∞) in funzione delle variabiliXn e calcolarne la probabilità. 2. Determinare la legge del vettore(X1, T). 3. Determinare la legge della variabileT. 4. Calcolare E[T ]. 5. Calcolare Cov(X1, T). 6. Per quali p le due variabili sono scorrelate? Per qualip sono indipendenti? Giustificare la risposta. 1 Risultati. 1. (T = ∞) =  ∩∞ n=1 (Xn = 1)  ∪  ∩∞ n=1 (Xn = 0)  =⇒ P(T = ∞) = 0. 2. (X1, T) è un vettore aleatorio discreto con supporto{0, 1} × {2, 3, . . .} e densità discreta P(X1 = 0, T = n) = P(X1 = 0, . . . , Xn−1 = 0, Xn = 1) = p (1 − p)n−1, n ≥ 2, P(X1 = 1, T = n) = P(X1 = 1, . . . , Xn−1 = 1, Xn = 0) = pn−1 (1 − p), n ≥ 2. 3. T è variabile aleatoria discreta con supporto{2, 3, . . .} e densità discreta P(T = n) = (1 − p) pn−1 + p (1 − p)n−1, n ≥ 2. 4. E[T ] = ∞X k=2 k  pk−1(1 − p) + (1 − p)k−1p  = 1 − p(1 − p) p(1 − p) . 5. Cov(X1, T) = 2p − 1. 6. Le due variabili sono scorrelate perp = 1/2. In questo caso P(X1 = k, T = n) = 1 2n = P(X1 = k) P(Tn), ∀k = 0, 1, ∀n ≥ 2, per cui sono anche indipendenti. 2 Esercizio 2.…