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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione - AA 2021/2022 V Appello di Probabilità per Ingegneria Matematica - 15 febbraio 2023 ©I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. MA TRICOLA, COGNOME, NOME: Esercizio 1. Due apparecchiature con le medesime specifiche tecniche possono guastarsi, in modo irreparabile, in tempi aleatoriT1 e T2 rispettivamente. Si assume cheT1 e T2 abbiano legge esponenziale di parametro λ > 0 e siano fra loro indipendenti. Vengono quindi introdotti l’istante in cui si osserva la prima rottura, U = min{T1, T2}, e l’istante della seconda rottura,V = max{T1, T2}. 1. Calcolare legge, attesa e varianza diU. La variabileU è assolutamente continua? È discreta? 2. Calcolare legge, attesa e varianza diV. La variabileV è assolutamente continua? È discreta? 3. Le variabili U e V sono indipendenti? Giustificare adeguatamente la risposta. 4. Scrivere il prodottoU V in fuzione diT1 e T2 e calcolarne la mediaE[U V]. 5. Calcolare la covarianzaCov(U, V ). 6. Calcolare la probabilitàP  U ≥ s, V ≤ t  per 0 ≤ s ≤ t. 7. Calcolare la probabilitàP  U ≤ s, V ≤ t  per 0 ≤ s ≤ t. 1 Risultati. 1. U ∼ Esp(2λ), quindi è assolutamente continua conE[U] = 1 2λ e Var(U) = 1 4λ2. 2. P(V ≤ v) = (1 − e−λv)2 I(0,+∞)(v). Da qui si deduce cheV è una v.a. assolutamente continua, con densità fV (v) = 2λe−λv(1 − e−λv) I(0,+∞)(v), attesa E[V ] = Z ∞ 0 2vλe−λv(1 − e−λv) dv = 3 2λ e varianza Var(V ) = 7 2λ2 − 9 4λ2 = 5 4λ2 . 3. U e V non sono indipendenti: P  U ≥ 3, V ≤ 1  = 0 ̸= e−3λ(1 − e−λ)2 = P(U ≥ 3) P(V ≤ 1). 4. U V = T1T2 =⇒ E[U V] = E[T1T2] = E[T1] E[T2] = 1 λ2. 5. Cov(U V) = E[U V] − E[U] E[V ] = 1 λ2 − 3 4λ2 = 1 4λ2 . 6. P  U ≥ s, V ≤ t  = P  s ≤ T1 ≤ t  P  s ≤ T2 ≤ t  = (e−λs −…