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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione - AA 2022/2023 II Prov a in itinere di Probabilità per Ingegneria Matematica - 13 giugno 2023 ©I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. MA TRICOLA, COGNOME, NOME: Esercizio 1. Sia (X, Y, Z) un vettore gaussiano tridimensionale di media e varianza µ =   0 1 1   , C =   1 0 0 0 2 1 0 1 2   . 1. Scrivere la funzione caratteristica di(X, Y, Z). 2. Le variabili X, Y, Z sono una famiglia di variabili indipendenti? Perché? 3. Le due variabili (X, Y ) e Z sono indipendenti? E le due variabiliX e (Y, Z) sono indipendenti? Perché? 4. Determinare le attese condizionateE[Z|(X, Y )] e E[Z|Y ]. 5. Il vettore (X, Y, Z) è continuo? Perché? 6. Determinare la legge del vettore S T  =  X + 2Y − Z − 1 2 X − Y + 1 2 Z + 5  . È un vettore continuo? Perché? 7. Determinare la legge della variabile2X 2 + (Y − 1)2. È una variabile continua? Perché? 1 Risultati. 1. Si ha φ(X,Y,Z )(u, v, w) = exp  i(v + w) − 1 2(u2 + 2v2 + 2w2 + 2vw)  . 2. No, in quantoCov(Y, Z) = 1 ̸= 0. 3. No, in quanto lo dovrebbero essere ancheY e Z ma Cov(Y, Z) = 1 ̸= 0. Sì, in quanto gaussiani e scorrelati (in alternativa, in quanto la funzione caratteristica congiunta è il prodotto delle marginali). 4. Sappiamo che E[Z|(X, Y ) = (x, y)] = 1 + 0 1
1 0 0 2 −1 x y − 1  = 1 + 0 1
 x 1 2 y − 1 2  = 1 2 y + 1 2 , da cui segue che E[Z|(X, Y )] = 1 2 Y + 1 2 . Dal momento cheE[Z|(X, Y )] dipende solo daY, abbiamo subito E[Z|Y ] = E h E[Z|(X, Y )] Y i = 1 2 Y + 1 2 . 5. Sì, in quanto det C = 1 · det  2 1 1 2  = 3 ̸= 0 . 6. Si ha  S T  =  1 2 −1 − 1 2 −1 1 2   X Y Z   +  0 5  . Dunque  S T  ∼ N  1 9/2  ,  7 −7/2 −7/2 7 /4  in quanto trasformazione affine di(X,…