23novembre15

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Analisi Matematica II - 23 novembre 2015 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene il testo delle domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Sia r : [a,b ]→ R3 una curva C 2. Si definisca la torsione τ(t0) della curva nel puntor(t0). Domanda 2 . Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat in Rn Domanda 3 . Mostrare che, se un campo ammette potenziale vettore, allora ` e necessariamente solenoidale. Analisi Matematica II - 23 novembre 2015 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere attentamente il testo degli esercizi prima di iniziare lo svolgimento. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Data la funzione f(x,y ) = sin(xy)− logx2 1. Calcolare lo sviluppo di Taylor di f(x,y ) al quarto ordine nel punto (1, 0) 2. Calcolare l’equazione del piano tangente al grafico di f(x,y ) in (1, 0). 3. Determinare se esiste un intorno di (1 , 0) in cui il piano tangente ` e interamente sotto o sopra al grafico. Soluzione. Poich´ e mi interessa il comportamento di logx2 in un intorno di x = 1, posso scrivere logx2 = 2 logx. Sia z =x−1 eg(z,y ) =f(z+1,y ) = sin(y(z+1))−2 log(z+1). Calcolo lo sviluppo di Taylor di g(z,y ) al quarto ordine nel punto (0 , 0). Osservo che, se (z,y )→ (0, 0), allora y(z + 1)→ 0, quindi g(z,y ) =y(z + 1)− (y(z + 1))3/3! +o((y(z + 1))4)− 2(z−z2/2 +z3/3−z4/4) +o(z4) =y(z + 1)− (y(z + 1))3/3!− 2(z−z2/2 +z3/3−z4/4) +o((y2 +z2)2). Sostituendo z =x− 1, sviluppando i calcoli e tenendo solo i termini di grado inferiore a 4 f (x, y) = y + y(x − 1) − y3/6 − y3(x − 1)/2 − 2((x − 1) − (x − 1)2/2 + (x − 1)3/3 − (x − 1)4/4 + o((y2 + (x − 1)2)2) = y + y(x − 1) − y3/6 − y3(x − 1)/2 − 2(x − 1) + (x − 1)2 − 2(x − 1)3/3 + (x − 1)4/2 + o((y2 + (x − 1)2)2 . Ne segue che il piano tangente ha equazione z =y− 2(x− 1). Il differenziale…