23settembre16

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Analisi Matematica II - 23 settembre 2016 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Date due curve r1 : [a1,b 1]→ R3, r2 : [a2,b 2]→ R3, spiegare cosa significa che sono equivalenti. Domanda 2 Enunciare il teorema della funzione inversa in Rn. Domanda 3 Enunciare il teorema di esistenza e unicit` a locale per il problema di Cauchy. Analisi Matematica II - 23 settembre 2016 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Si consideri l’equazione y′ = y t− 1 te 1 t per t> 0. Si dica in quale regione valgono i teoremi di esistenza e unicit` a in piccolo e in grande. Si trovi la soluzione di tale equazione che ammette limite finito per t→ +∞ e si calcoli tale limite. Esercizio 2 . Trovare punti di equilibrio, studiarne la stabilit` a e disegnare alcune orbite ap- prossimate nello spazio delle fasi per il sistema { x′ =y−x2 y′ =x−y. Esercizio 3 . Utilizzando la formula di Gauss-Green, calcolare l’area della regione compresa tra la curva parametrizzata da r : [0, 2π]→ R2, r(t) = (t cost,t sint) e il segmento ( x, 0), con x∈ [0, 2π].