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Politecnico di Milano - Ingegneria Biomedica Analisi Matematica 1 e Geometria 24-1-2019 Esercizio 1. Nello spazio R3, riferito a un sistema cartesiano 0xyz, si considerino le rette r :    x = 2t y =−3t + 1 z =t + 2 t∈ R e s : { x +y + 3z− 5 = 0 x−y +z + 5 = 0 . a. Dimostrare che r e s sono incidenti e calcolare il loro punto di intersezione P ; b. calcolare l’angolo formato dalle direzioni di r e s. c. scrivere un’equazione cartesiana del piano Π che contiene r e s, e calcolarne la distanza dall’origine. Soluzioni a. Per stabilire la mutua posizione tra r e s, sostituiamo le cooridinate parametrizzate di r nelle equazioni che definiscono s. Deduciamo quindi il sistema di due equazioni nell’incognita t { 2t− 3t + 1 + 3(t + 2)− 5 = 0 2t− (−3t + 1) +t + 2 + 5 = 0 ⇐⇒ { 2t + 2 = 0 6t + 6 = 0 ⇐⇒ t =−1. Questo dimostra che le rette sono incidenti, e per calcolarne il punto di intersezione, sostituiamo il valore del parametro t =−1 nelle equazioni parametriche di r. Il punto di intersezione pertanto P = (−2, 4, 1). b. Per calcolare tale angolo, deduciamo preliminarmente una equazione parametrica di s. Sommando le due equazioni e sostituedole alla prima riga, abbiamo s : { 2x + 4z = 0 x−y +z + 5 = 0 ⇐⇒ { x =−2z y =x +z + 5 =−z + 5 ⇐⇒    x =−2s y =−s + 5 z =s s∈ R. Nominando u = [2,−3, 1]T il vettore direttore di r e v = [−2,−1, 1]T il vettore direttore di s, possiamo calcolare l’angolo tra le due rette utilizzando la formula ˆrs = arccos ( u· v ∥u∥∥v∥ ) ∈ [0,π ]. Poich u· v = 0, le due rette risultano ortogonali, i.e. ˆrs = π 2 . c. Per esibire un’equazione cartesiana del piano Π, calcoliamo una direzione ortogonale ad entrambe le rette r e s utilizzando il prodotto vettoriale u∧ v =   2 −3 1  ∧   −2 −1 1   = det   i j k 2 −3 1 −2 −1 1   =   −2 −4 −8  …