24 01 2024

Informazioni sul documento

Università: Politecnico di Milano
Corso di laurea: Aerospace Engineering
Materia: Fisica delle Onde
Classificazione: Esame · Esame completo
Contenuto: Testo e soluzione
Formato originale: PDF
Testo: Testo ricercabile

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Esame completo di Fisica delle Onde per il corso di Aerospace Engineering presso Politecnico di Milano. Il documento tratta: Prima appello, sessione invernale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 24/01/2024 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Canale:_______ Consegna: Campi □ Onde □ Relativita’ □ Dimostrazione □ Campi (26pt) Due solenoidi…

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Prima appello, sessione invernale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 24/01/2024 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Canale:_______ Consegna: Campi □ Onde □ Relativita’ □ Dimostrazione □ Campi (26pt) Due solenoidi cilindrici coassiali, 𝑆𝑆1 e 𝑆𝑆2 , hanno lunghezza comune ℓ = 1.8 𝑚𝑚 e raggi rispettivamente 𝑟𝑟1 = 3 𝑐𝑐𝑐𝑐 e 𝑟𝑟2 = 12 𝑐𝑐𝑐𝑐. Il numero di avvolgimenti (equispaziati) dei solenoidi sono rispettivamente 𝑁𝑁1 = 15 e 𝑁𝑁2 . Si possono considerare i due solenoidi come ideali. Il coefficiente di mutua induzione tra i due circuiti e’ 𝑀𝑀 = 3.85 × 10−5 𝐻𝐻. Nel secondo solenoide scorre una corrente 𝐼𝐼2 (𝑡𝑡) = 𝐼𝐼20 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔, con 𝐼𝐼20 = 1.9 𝐴𝐴 e 𝜔𝜔 = 30 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑠𝑠 −1 . C.1) Calcolare il numero di spire, 𝑁𝑁2 , del secondo solenoide (si riporti brevemente la risoluzione). Assumendo che il solenoide 𝑆𝑆1 abbia i suoi capi connessi tra di loro a formare un circuito chiuso di resistenza totale 𝑅𝑅 = 16 Ω e coefficiente di autoinduzione 𝐿𝐿1 trascurabile C.2) Scrivere la legge oraria della corrente (indotta dal solenoide 𝑆𝑆2 ) che scorre nel solenoide 𝑆𝑆1 , 𝐼𝐼1 (𝑡𝑡), e calcolare la corrente massima per 𝑡𝑡 > 0, 𝐼𝐼1,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 . C.3) Calcolare la carica, 𝑄𝑄, che scorre nel solenoide 𝑆𝑆1 nell’intervallo di tempo Δ𝑡𝑡2 = [0, 𝜋𝜋/𝜔𝜔] Si assuma ora che la resistenza diventi trascurabile (𝑅𝑅 → 0), si deve quindi tenere conto del coefficiente di autoinduzione 𝐿𝐿1 . Assumendo che la corrente in 𝑆𝑆1 sia inizialmente nulla, 𝐼𝐼1′ (0) = 0. C.4) Calcolare l’espressione della corrente in funzione del tempo che scorre nel solenoide 𝑆𝑆1 , 𝐼𝐼1′ (𝑡𝑡), e la ′ corrente massima per 𝑡𝑡 > 0, 𝐼𝐼1,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 . Si supponga ora di aprire il circuito…

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Prima appello, sessione invernale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 24/01/2024 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Canale:_______ Consegna: Campi □ Onde □ Relativita’ □ Dimostrazione □ O.2) L’intensità, 𝐼𝐼 (𝜋𝜋/2), che il rivelatore misura una volta portato in (prossimità di) 𝜃𝜃 = 𝜋𝜋/2 Lo schermo viene ora sostituito con uno schermo dotato di due fenditure identiche lunghe e sottili di apertura 𝑎𝑎′ i cui centri distano 𝑑𝑑 = 30 𝑚𝑚𝑚𝑚. Le fenditure sono poste simmetricamente rispetto al raggio in direzione 𝜃𝜃 = 0. In questa configurazione l’intensità misurata a 𝜃𝜃 = 𝜋𝜋/2 e’ 𝐼𝐼′ (𝜋𝜋/2) = 0. O.3) Calcolare il minimo valore di 𝑎𝑎′ che soddisfa tale condizione. ′ (0) = 12 𝑊𝑊/𝑚𝑚 2 . Davanti In queste condizioni l’intensità della radiazione misurata 𝜃𝜃 = 0 e’ 𝐼𝐼𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 alla seconda fenditura viene ora posta una lastra di vetro di indice di rifrazione 𝑛𝑛 = 1.75 e di spessore 𝑠𝑠 = 25 𝑚𝑚𝑚𝑚. O.4) Calcolare lo sfasamento, 𝛿𝛿, tra le due fenditure introdotto dalla lastra. Esprimere il risultato in unita’ di 𝜋𝜋 (quindi scrivere 𝛿𝛿/𝜋𝜋 come risultato). 𝑠𝑠 ( ) O.5) Calcolare 𝐼𝐼𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 0 a 𝜃𝜃 = 0 sul rivelatore in queste condizioni (trascurare le riflessioni multiple ma si spiegare brevemente il risultato) Risposta × 10𝑛𝑛 Unita’ di misura O.1) 𝑎𝑎 1.1 2.7 4.9 6.8 9.1 O.2) 𝐼𝐼 (𝜋𝜋/2) 0.0 3.5 6.3 7.9 9.8 O.3) 𝑎𝑎′ 1.8 3.1 4.0 7.5 8.6 O.4) 𝛿𝛿/𝜋𝜋 1.6 3.1 5.0 8.0 9.1 𝑠𝑠 ( ) O.5) 𝐼𝐼𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 0 1.7 3.5 5.1 6.6 7.9 Relatività (28pt) Un’asta di lunghezza L=4m si trova a riposo in un sistema di riferimento inerziale S’ e forma un angolo di 30o con l’asse delle ascisse. Ad un certo istante e contemporaneamente in S’, vengono emesse due onde 𝐿𝐿√3…

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Prima appello, sessione invernale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 24/01/2024 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Canale:_______ Consegna: Campi □ Onde □ Relativita’ □ Dimostrazione □ Soluzioni Campi C.1) Il campo magnetico generato da un solenoide cilindrico ideale è 𝐵𝐵 = 𝜇𝜇0 𝑛𝑛𝑛𝑛 coassiale con il solenoide stesso. Per ricavare 𝑁𝑁1 calcoliamo il coefficiente di mutua induzione tra i due solenoidi 𝑆𝑆1 e 𝑆𝑆2 . Consideriamo dapprima il flusso di 𝐵𝐵 �⃗2 attraverso una singola spira di 𝑆𝑆1 𝑁𝑁2 �⃗2 � = 𝜇𝜇0 𝑛𝑛2 𝐼𝐼2 Σ1 = 𝜇𝜇0 Φ1𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑆𝑆1 �𝐵𝐵 Σ 𝐼𝐼 ℓ 12 �⃗2 attraverso tutte le spire di 𝑆𝑆1 è semplicemente Il flusso di 𝐵𝐵 𝑁𝑁1 𝑁𝑁2 𝑁𝑁1 𝑁𝑁2 �⃗2 � = 𝑁𝑁1 Φ1𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑆𝑆 �𝐵𝐵 Φ𝑆𝑆1 �𝐵𝐵 �⃗2 � = 𝜇𝜇0 Σ1 𝐼𝐼2 → 𝑀𝑀 = 𝜇𝜇0 Σ1 1 ℓ ℓ Da cui 𝑀𝑀ℓ 𝑁𝑁2 = = 1300 𝜇𝜇0 𝑁𝑁1 Σ1 C.2) �⃗2 � = 𝑀𝑀𝐼𝐼2 = 𝑀𝑀𝐼𝐼20 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 si ricava (per la legge di FHL) che Da Φ𝑆𝑆1 �𝐵𝐵 �⃗2 � 𝑑𝑑Φ𝑆𝑆1 �𝐵𝐵 ℰ1 = − = 𝑀𝑀𝐼𝐼20 𝜔𝜔 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑑𝑑 Il circuito 1 si puo’ considerare puramente resistivo, quindi 𝑀𝑀𝐼𝐼20 𝜔𝜔 𝑀𝑀𝐼𝐼20 𝜔𝜔 ℰ1 = 𝑅𝑅𝐼𝐼1 → 𝐼𝐼1 (𝑡𝑡) = sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 → 𝐼𝐼1,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = = 1.37 × 10−4 𝐴𝐴 𝑅𝑅 𝑅𝑅 C.3) Il circuito 1 è puramente resistivo, vale quindi la legge di Felici nell’intervallo �𝑡𝑡𝑖𝑖 , 𝑡𝑡𝑓𝑓 � = [0, 𝜋𝜋/𝜔𝜔]: ΔΦ1 𝑀𝑀𝐼𝐼20 𝑀𝑀𝐼𝐼20 2𝑀𝑀𝐼𝐼20 𝑄𝑄 = − = (cos 𝜔𝜔𝑡𝑡𝑖𝑖 − cos 𝜔𝜔𝑡𝑡𝑡𝑡 ) = (1 + 1) = = 9.14 × 10−6 𝐶𝐶 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝑅𝑅 C.4) L’induttanza 𝐿𝐿1 ora non può essere trascurata. Per un solenoide cilindrico ideale essa si ricava facilmente dall’autoflusso come 𝑁𝑁1 𝑁𝑁 2 𝑁𝑁 2 Φ1𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝜇𝜇0 �⃗1 � = 𝜇𝜇0 1 Σ1 𝐼𝐼1 → 𝐿𝐿1 = 𝜇𝜇0 1 Σ1 = 4.44 × 10−7 𝐻𝐻…

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Prima appello, sessione invernale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 24/01/2024 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Canale:_______ Consegna: Campi □ Onde □ Relativita’ □ Dimostrazione □ 𝑑𝑑𝑈𝑈𝑚𝑚 1 2 2 𝑑𝑑 1 1 2 2 1 1 1 𝑁𝑁12 1 𝑈𝑈(ℓ0 ) 𝐹𝐹 = − � = − 𝜇𝜇0 𝑁𝑁1 Σ1 𝐼𝐼1 � �� = 𝜇𝜇0 𝑁𝑁1 Σ1 𝐼𝐼1 ⋅ � ⋅ �� = 𝜇𝜇0 Σ1 𝐼𝐼12 ⋅ = 𝑑𝑑ℓ ℓ0 2 𝑑𝑑ℓ ℓ ℓ0 2 ℓ ℓ ℓ0 2 ℓ0 ℓ0 ℓ0 Il segno della forza sembra positivo (cioè tende a far espandere il solenoide). Ma il solenoide NON è isolato, si deve infatti tener conto del fatto che 𝑆𝑆1 è connesso ad un generatore che per ogni 𝑑𝑑𝑈𝑈𝑚𝑚 compie un lavoro sul sistema pari a 𝑑𝑑𝑊𝑊𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 = 2𝑑𝑑𝑈𝑈𝑚𝑚 , questo a discapito della sia energia interna, quindi 𝑑𝑑𝑈𝑈𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = −2𝑑𝑑𝑈𝑈𝑚𝑚 + 𝑑𝑑𝑈𝑈𝑚𝑚 = −𝑑𝑑𝑈𝑈𝑚𝑚 , da qui 𝑑𝑑𝑈𝑈𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑈𝑈𝑚𝑚 𝑈𝑈(ℓ0 ) 𝐹𝐹 = − � = � =− <0 𝑑𝑑ℓ ℓ0 𝑑𝑑ℓ ℓ0 ℓ0 Il valore in modulo della forza è pari a 𝑈𝑈(ℓ0 ) |𝐹𝐹 | = = 11.6 𝑁𝑁 ℓ0 Onde 𝑐𝑐 Sullo schermo si forma una figura di diffrazione alla Fraunhofer. La lunghezza d’onda della radiazione è 𝜆𝜆 = = 𝜈𝜈 3×108 4×1010 = 7.5 × 10−3 𝑚𝑚 = 7.5 𝑚𝑚𝑚𝑚. O.1) A valle della fenditura si forma una figura di diffrazione i cui minimi sono posti agli angoli 𝜆𝜆 sin 𝜃𝜃𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚,𝑚𝑚 = 𝑚𝑚 𝑎𝑎 La posizione del primo minimo porta a: 𝜆𝜆 sin 𝜋𝜋/4 = sin 𝜃𝜃𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚,1 = → 𝑎𝑎 = 𝜆𝜆√2 = 1.06 × 10−2 𝑚𝑚 𝑎𝑎 O.2) La potenza raccolta dal rivelatore è legata alla intensità dell’onda su di esso da 𝑃𝑃 (0) 𝐼𝐼 (0) = = 750 𝑊𝑊/𝑚𝑚 2 Σ Da cui 𝜋𝜋𝜋𝜋 sin 𝜃𝜃 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 2 2 sin � 𝜆𝜆 � sin � � 𝜆𝜆 sin�𝜋𝜋√2� 𝐼𝐼 (𝜃𝜃) = 𝐼𝐼 (0) � ( ) ( ) ( ) � → 𝐼𝐼 𝜋𝜋/2 = 𝐼𝐼 0 � 𝜋𝜋𝜋𝜋 � = 𝐼𝐼 0 � � = 35.3 𝑊𝑊/𝑚𝑚 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 sin 𝜃𝜃…

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