24novembre14

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Analisi Matematica II - 24 novembre 2014 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene il testo delle domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Sia f : RN→ R differenziabile in un punto x0 e sia v∈ RN, v̸= 0. 1. Dimostrare che f ` e derivabile inx0 in direzione v. 2. Mostrare che Dvf(x0) =∇f(x0)· v. Domanda 2 . Sia r : A⊂ R2→ R3 una superficie. 1. Quale condizione deve soddisfare r per essere detta regolare? 2. Quale condizione deve soddisfare r per essere detta orientabile?. Domanda 3 . Sia ω = f(x, y)dx + g(x, y)dy una forma differenziale. 1. Cosa significa che ω ` echiusa? 2. Cosa significa che ω ` eesatta? Analisi Matematica II - 24 novembre 2014 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere attentamente il testo degli esercizi prima di iniziare lo svolgimento. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Data f : R2\ (0, 0)→ R definita da f(x, y) = sin(xy)x ex2+y2 − 1 , prolungarla con continuit` a in tutto il piano e determinare se la funzione risultante ` e differenziabile in (0, 0). Esercizio 2 . Calcolare lo sviluppo di Taylor in (0 , 0) con resto di Peano al quarto ordine di f(x, y) = √ 1− x2y . Usare il risultato ottenuto per calcolare l’equazione del piano tangente al grafico della funzione al punto (0, 0, 1). Esercizio 3 . Si determinino punti di massimo e di minimo assoluti per la funzione f(x, y) = x2 + y2− xy nell’insieme A ={(x, y)∈ R2 : x2 + 4y2≤ 4}. Esercizio 4 . Calcolare ∫ A x2 + y2− xy dxdy , dove A ={(x, y)∈ R2 : x2 + 4y2≤ 4}.